Transformata Fourier

În matematică, transformata Fourier este o transformată integrală care asociază unei funcții o altă funcție, descriind componentele sale de frecvență. Atunci când variabila inițială reprezintă timpul, transformata oferă o reprezentare în domeniul frecvențelor, în locul reprezentării în domeniul timpului. Transformata are, în general, valori complexe, care codifică atât amplitudinea, cât și faza componentelor. Termenul desemnează atât operația matematică, numită și transformare Fourier, cât și rezultatul aplicării ei unei funcții.^{[notă 1]}

Localizarea unei funcții și a transformatei sale sunt legate prin principiul de incertitudine. O funcție concentrată într-un interval scurt are, de regulă, un spectru mai larg, iar concentrarea spectrului limitează localizarea funcției. Funcțiile de tip Gauss realizează cazul de egalitate în forma clasică a acestui principiu. Transformata unei funcții gaussiene este tot una gaussiană. Aceste funcții apar în teoria probabilităților, în statistică și în descrierea unor fenomene precum difuzia. Joseph Fourier a introdus transformările prin sinus și cosinus în studiul propagării căldurii. Acestea sunt legate de părțile imaginară și reală ale transformatei complexe moderne.

În forma de bază, transformata este exprimată printr-o integrală improprie. Pentru funcții absolut integrabile, definiția se formulează cu integrala Lebesgue. Alte aplicații necesită extinderi la funcții de pătrat integrabil, la măsuri sau la distribuții.^[1] De exemplu, delta lui Dirac este folosită frecvent ca un impuls ideal, însă nu este o funcție obișnuită și trebuie tratată în cadrul măsurilor sau al distribuțiilor.

Transformata se definește și pentru funcții de mai multe variabile pe spații euclidiene. În fizică, ea permite trecerea de la o reprezentare în spațiul pozițiilor la una în spațiul impulsurilor sau de la variabilele spațiu–timp la cele ale cuadrimpulsului. Această legătură este importantă în studiul undelor și în mecanica cuantică. Funcțiile considerate pot avea valori complexe, vectoriale sau, în anumite aplicații, valori operatoriale.^{[notă 2]}

Generalizarea la funcții definite pe grupuri reunește mai multe construcții înrudite. Dreapta reală și spațiile $ℝ^{n}$ conduc la transformata integrală, grupul $ℤ$ la transformata Fourier în timp discret, grupul ciclic $ℤ / N ℤ$ la transformata Fourier discretă, iar grupul cercului la seriile Fourier. Cercul poate fi reprezentat printr-un interval ale cărui extremități sunt identificate, ceea ce îl face potrivit pentru funcții periodice. Transformata Fourier rapidă (abreviată FFT), este o familie de algoritmi pentru calcularea transformatei discrete.

Definiție și inversare

Fie $f : ℝ \to ℂ$ o funcție măsurabilă și absolut integrabilă, adică $‖ f ‖_{1} = \int_{ℝ} | f (x) | d x < \infty$ . În convenția cu frecvență obișnuită, transformata Fourier a lui $f$ este funcția^[2] $\hat{f} (ξ) = \int_{ℝ} f (x) e^{- 2 π i x ξ} d x, ξ \in ℝ .$ Integrala converge absolut pentru orice $ξ$ . Funcția $\hat{f}$ este mărginită și uniform continuă, iar $\hat{f} (ξ) \to 0$ când $| ξ | \to \infty$ . Ultima proprietate constituie lema Riemann–Lebesgue.^[3]

Notația $L^{1} (ℝ)$ desemnează spațiul acestor funcții, cu identificarea funcțiilor egale aproape peste tot. Transformata este injectivă pe acest spațiu, însă imaginea sa nu are o caracterizare elementară. În particular, transformata unei funcții din $L^{1}$ nu este neapărat integrabilă. Dacă $f$ și $\hat{f}$ sunt ambele integrabile, formula de inversare este:

f (x) = \int_{ℝ} \hat{f} (ξ) e^{2 π i x ξ} d ξ .

Egalitatea este valabilă aproape peste tot și în fiecare punct în care $f$ este continuă. Individual, ea este valabilă peste tot pentru funcții din spațiul Schwartz. Alte forme ale teoremei de inversare utilizează ipoteze și sensuri de convergență diferite, care trebuie precizate separat.^[4]

Funcțiile $f$ și $\hat{f}$ formează o pereche de transformate Fourier.^[5] Această corespondență se notează frecvent:^[6] $f (x) \overset{ℱ}{⟷} \hat{f} (ξ) .$ De exemplu, în sensul distribuțiilor, $δ (x) \overset{ℱ}{⟷} 1$ . Pentru asemenea obiecte, integrala inițială este înlocuită de o definiție prin dualitate. Transformata se extinde astfel la toate distribuțiile temperate.^[7] Pentru unele funcții local integrabile care nu aparțin lui $L^{1}$ , ea poate fi definită și prin integrale improprii ori printr-o procedură de regularizare, atunci când limitele respective există în sensul indicat.^[8]

Transformata integrală nu este definită direct prin aceeași integrală Lebesgue pentru orice funcție din $L^{2} (ℝ)$ . De exemplu, funcția $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ aparține spațiului $L^{2} (ℝ)$ , dar nu și spațiului $L^{1} (ℝ)$ . Transformata Fourier, definită inițial pe subspațiul dens $L^{1} (ℝ) \cap L^{2} (ℝ)$ , admite o unică prelungire continuă la $L^{2} (ℝ)$ . Această prelungire este un operator unitar, adică un automorfism liniar care păstrează produsul scalar și norma. Spre deosebire de transformata Fourier definită pe $L^{1} (ℝ)$ , operatorul astfel obținut este bijectiv pe $L^{2} (ℝ)$ . Transformata unei funcții din acest spațiu poate fi definită prin aproximarea cu funcții din $L^{1} (ℝ) \cap L^{2} (ℝ)$ și trecerea la limită în norma $L^{2}$ , fără a fi necesară convergența punctuală a integralei Fourier. În anumite condiții, transformata poate fi obținută și prin alte procedee de trecere la limită, inclusiv prin convergență slabă sau prin integrale în valoare principală.^[9]^[10]

Gaussienele au un rol special în justificarea acestei extinderi. Combinații liniare finite de gaussiene, admițând translații și variații de scară, pot aproxima funcții din $L^{1} \cap L^{2}$ , iar proprietăți precum unitaritatea se verifică mai întâi pe aceste funcții. Două relații fundamentale sunt $ℱ (e^{- π x^{2}}) (ξ) = e^{- π ξ^{2}}$ și $\int_{ℝ} e^{- π x^{2}} d x = 1$ .^[11]

Convenția cu exponentul $- 2 π i x ξ$ are avantajul că transformarea este unitară pe $L^{2}$ și transformă convoluția în produs, fără factori suplimentari. Mai precis, ea este un homomorfism al algebrei Banach $L^{1}$ , dotată cu convoluția, în algebra funcțiilor continue care se anulează la infinit, dotată cu produsul punctual și normă uniformă.^[12]

Notații și convenții

Transformata poate fi notată $\hat{f}$ , $\tilde{f}$ , $F$ , $ℱ (f)$ sau $ℱ f$ . Valoarea sa în punctul $ξ$ se scrie $\hat{f} (ξ)$ ori $(ℱ f) (ξ)$ . Parantezele fac explicit faptul că operatorul se aplică întâi funcției, după care rezultatul este evaluat în punctul indicat. Notațiile $ℱ {f}$ și $ℱ {f (t)}$ sunt de asemenea frecvent folosite, ultima precizând variabila în raport cu care se efectuează transformarea.

În științe și inginerie, variabila inițială este frecvent timpul $t$ , semnalul este notat $x (t)$ , iar frecvența este notată $f$ . Perechea se scrie atunci $x (t) \overset{ℱ}{⟷} X (f)$ . Această notație cu majuscule poate deveni incomodă pentru produse sau derivate, pentru care expresiile $ℱ {f g}$ și $ℱ {f^{'}}$ sunt mai explicite. Uneori, în fizica particulelor elementare, funcția și transformata ei sunt notate cu același simbol și sunt deosebite numai prin argument. Astfel, un argument de tip impuls, ca în $f (k_{1} + k_{2})$ , indică reprezentarea transformată, iar un argument de tip poziție, ca în $f (x_{0} + π 𝒓)$ , indică reprezentarea inițială. Tilda poate desemna și alte modificări ale unei mărimi, precum măsura Lorentz-invariantă $\tilde{d^{3} k} = d^{3} k / ((2 π)^{3} 2 ω_{k})$ , unde $ω_{k} = \sqrt{| k |^{2} + m^{2}} > 0$ , în unități $c = ℏ = 1$ , pe ramura energiei pozitive.^[13]

Expresiile $ℱ (f (x))$ sau $ℱ (rect (x))$ sunt uzuale, dar trebuie înțelese ca transformate ale unor funcții, nu ale valorilor numerice ale acestora într-un punct fix. De exemplu, relațiile $ℱ (rect) (ξ) = sinc (ξ), ℱ {f (x + x_{0})} (ξ) = e^{2 π i x_{0} ξ} \hat{f} (ξ)$ presupun că integrarea se face în raport cu $x$ , iar $x_{0}$ este un parametru. Prima formulă utilizează funcția sinc normalizată, $sinc (ξ) = \sin (π ξ) / (π ξ)$ , cu valoarea 1 la origine, și funcția dreptunghiulară asociată intervalului $[- 1 / 2, 1 / 2]$ .

Frecvență obișnuită și frecvență unghiulară

Dacă variabila $x$ reprezintă timpul, exprimat în secunde, variabila $ξ$ reprezintă frecvența, măsurată în hertzi (Hz). Frecvența unghiulară, denumită și pulsație, este dată de relația $ω = 2 π ξ$ și se exprimă în radiani pe secundă (rad/s). Prin schimbarea de variabilă $ξ = \frac{ω}{2 π}$ , se obțin două convenții curente de definire a transformatei Fourier. În prima convenție, transformata directă nu conține un factor de normalizare, iar transformata inversă conține factorul $\frac{1}{2 π}$ . În a doua convenție, normalizarea este simetrică, ambele transformate având factorul $\frac{1}{\sqrt{2 π}}$ .^[14]

Convenții frecvente în cazul unei variabile
Variabilă spectrală	Normalizare	Transformata directă, relațiile dintre convenții și inversa
Frecvența obișnuită $ξ$	Unitară	$\begin{matrix} {\hat{f}}_{1} (ξ) & = \int_{ℝ} f (x) e^{- 2 π i x ξ} d x = \sqrt{2 π} {\hat{f}}_{2} (2 π ξ) = {\hat{f}}_{3} (2 π ξ) \\ f (x) & = \int_{ℝ} {\hat{f}}_{1} (ξ) e^{2 π i x ξ} d ξ \end{matrix}$
Frecvența unghiulară $ω$	Unitară	$\begin{matrix} {\hat{f}}_{2} (ω) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{ℝ} f (x) e^{- i ω x} d x = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {\hat{f}}_{1} (\frac{ω}{2 π}) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {\hat{f}}_{3} (ω) \\ f (x) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{ℝ} {\hat{f}}_{2} (ω) e^{i ω x} d ω \end{matrix}$
Frecvența unghiulară $ω$	Neunitară	$\begin{matrix} {\hat{f}}_{3} (ω) & = \int_{ℝ} f (x) e^{- i ω x} d x = {\hat{f}}_{1} (\frac{ω}{2 π}) = \sqrt{2 π} {\hat{f}}_{2} (ω) \\ f (x) & = \frac{1}{2 π} \int_{ℝ} {\hat{f}}_{3} (ω) e^{i ω x} d ω \end{matrix}$

Caracterul unitar se referă la prelungirea pe $L^{2}$ , cu măsura Lebesgue obișnuită pentru fiecare variabilă. Trecerea la pulsație fără normalizare simetrică nu păstrează norma $L^{2}$ , deoarece schimbarea de variabilă modifică elementul de integrare.

În cazul funcțiilor definite pe $ℝ^{n}$ , factorii de normalizare corespunzători celor două convenții sunt $\frac{1}{(2 π)^{n / 2}}$ și $\frac{1}{(2 π)^{n}}$ . În tabelul următor, $x$ , $ξ$ și $ω$ reprezintă vectori din $ℝ^{n}$ , iar punctul dintre doi vectori indică produsul scalar euclidian. Dacă variabilele inițiale reprezintă coordonate spațiale, variabilele corespunzătoare din domeniul spectral se exprimă în unități inverse de lungime, spre deosebire de frecvența temporală, exprimată în hertzi, sau de pulsație care este exprimată în radiani pe secundă.

Convenții frecvente în dimensiune $n$
Variabilă spectrală	Normalizare	Transformata directă, relațiile dintre convenții și inversa
Variabila $ξ$	Unitară	$\begin{matrix} {\hat{f}}_{1} (ξ) & = \int_{ℝ^{n}} f (x) e^{- 2 π i ξ \cdot x} d x = (2 π)^{n / 2} {\hat{f}}_{2} (2 π ξ) = {\hat{f}}_{3} (2 π ξ) \\ f (x) & = \int_{ℝ^{n}} {\hat{f}}_{1} (ξ) e^{2 π i ξ \cdot x} d ξ \end{matrix}$
Variabila unghiulară $ω$	Unitară	$\begin{matrix} {\hat{f}}_{2} (ω) & = \frac{1}{(2 π)^{n / 2}} \int_{ℝ^{n}} f (x) e^{- i ω \cdot x} d x \\ = \frac{1}{(2 π)^{n / 2}} {\hat{f}}_{1} (\frac{ω}{2 π}) = \frac{1}{(2 π)^{n / 2}} {\hat{f}}_{3} (ω) \\ f (x) & = \frac{1}{(2 π)^{n / 2}} \int_{ℝ^{n}} {\hat{f}}_{2} (ω) e^{i ω \cdot x} d ω \end{matrix}$
Variabila unghiulară $ω$	Neunitară	$\begin{matrix} {\hat{f}}_{3} (ω) & = \int_{ℝ^{n}} f (x) e^{- i ω \cdot x} d x = {\hat{f}}_{1} (\frac{ω}{2 π}) = (2 π)^{n / 2} {\hat{f}}_{2} (ω) \\ f (x) & = \frac{1}{(2 π)^{n}} \int_{ℝ^{n}} {\hat{f}}_{3} (ω) e^{i ω \cdot x} d ω \end{matrix}$

În toate aceste convenții, semnul exponentului din transformata directă poate fi inversat dacă se inversează simultan semnul din transformata inversă. Semnele celor două nuclee exponențiale trebuie să fie opuse. Atunci când sunt comparate formule din surse diferite, trebuie verificate împreună semnul, variabila spectrală și factorii de normalizare.

Unități și variabile duale

Variabila spectrală are unități inverse celor ale variabilei inițiale, astfel încât exponentul din nucleul transformării să fie adimensional. Un timp exprimat în secunde corespunde unei frecvențe exprimate în cicluri pe secundă sau unei pulsații în radiani pe secundă, în funcție de convenție. O coordonată de lungime corespunde unei variabile de tip număr de undă. Spațiul variabilei inițiale și spațiul variabilei spectrale au astfel semnificații și unități diferite.

În fizică este frecventă convenția cu semnul pozitiv în transformata directă și semnul negativ în inversă.^[15] Aceasta schimbă alegerea undelor elementare ale reprezentării, fără a schimba fenomenul descris. De exemplu, coeficientul spectral poate fi asociat undei $e^{- 2 π i ξ x}$ , în locul undei $e^{2 π i ξ x}$ . Exponențiale cu semnul negativ apar în dependența temporală a undelor electromagnetice plane și a funcțiilor de undă cuantice. Identitățile transformării trebuie rescrise consecvent, înlocuind semnele factorilor care conțin explicit unitatea imaginară. În electrotehnică, aceasta este notată de obicei $j$ , deoarece litera $i$ este rezervată intensității curentului electric.

În teoria probabilităților, funcția caracteristică a unei variabile aleatorii $X$ cu densitatea $f$ este definită de obicei prin $φ (λ) = 𝔼 (e^{i λ X}) = \int_{ℝ} f (x) e^{i λ x} d x .$ Această convenție are semnul pozitiv și nu conține factorul $2 π$ .

Interpretarea spectrală

Amplitudine, fază și sinusoide complexe

Un coeficient spectral complex se poate exprima în formă polară sau algebrică, prin formula lui Euler, ca $\hat{f} (ξ) = A (ξ) e^{i θ (ξ)} = A (ξ) \cos θ (ξ) + i A (ξ) \sin θ (ξ)$ . Aici $A (ξ) = | \hat{f} (ξ) |$ reprezintă modulul, iar $θ (ξ) = \arg \hat{f} (ξ)$ este faza, definită modulo $2 π$ atunci când coeficientul nu este nul.^[16]

În integrala inversă, contribuția corespunzătoare frecvenței $ξ$ are expresia $\begin{matrix} \hat{f} (ξ) e^{2 π i ξ x} & = A (ξ) e^{i (2 π ξ x + θ (ξ))} \\ = A (ξ) \cos (2 π ξ x + θ (ξ)) + i A (ξ) \sin (2 π ξ x + θ (ξ)) . \end{matrix}$ Formula de inversare recompune funcția din aceste sinusoide complexe, cu amplitudinile și fazele lor,^[17] $f (x) = \int_{ℝ} A (ξ) e^{i (2 π ξ x + θ (ξ))} d ξ .$

Transformata directă poate fi interpretată ca măsurarea răspunsului funcției la o oscilație de probă. Înmulțirea cu $e^{- 2 π i ξ x}$ deplasează frecvența urmărită la zero. Integrarea însumează această contribuție, în timp ce oscilațiile la alte frecvențe tind să se compenseze. Interpretarea este euristică și trebuie adaptată cadrului funcțional utilizat.^{[notă 3]}

Frecvențe negative

Exponențiala complexă permite distingerea celor două sensuri de rotație în planul complex, corespunzătoare frecvențelor pozitive și negative. Transformata este definită pentru orice $ξ \in ℝ$ . Unele semnale complexe au spectrul nul pentru $ξ < 0$ , cum este cazul semnalelor analitice. Pentru alte funcții complexe sunt necesare ambele semiaxe spectrale. Astfel de reprezentări apar în prelucrarea semnalelor, radar, optică neliniară, ecuații cu derivate parțiale și mecanică cuantică.

Pentru o funcție reală, transformata are operator hermitic, exprimat prin $\hat{f} (- ξ) = \overline{\hat{f} (ξ)}$ . Un cosinus real $\cos (2 π ξ_{0} x)$ conține componente la ambele frecvențe $\pm ξ_{0}$ , spre deosebire de exponențiala complexă $e^{2 π i ξ_{0} x}$ . Totuși, semnul frecvenței unui cosinus nu poate fi determinat din funcția reală, deoarece $\cos (2 π ξ_{0} x) = \cos (2 π (- ξ_{0}) x)$ .^[18]

Funcții periodice și eșantionarea spectrului

Articol principal: Serie Fourier

O funcție periodică integrabilă pe o perioadă, care nu este nulă aproape peste tot, nu este absolut integrabilă pe întreaga dreaptă. Transformata sa nu se definește, în general, prin integrala Lebesgue folosită pentru $L^{1} (ℝ)$ . Seria Fourier oferă însă o reprezentare adecvată, iar transformata integrală se poate extinde la funcția periodică în sensul distribuțiilor temperate.

Pentru o funcție $P$ -periodică, cu $P > 0$ și coeficienții Fourier $c_{n} = \frac{1}{P} \int_{0}^{P} f (x) e^{- 2 π i n x / P} d x$ , corespondența distribuțională este $\hat{f} (ξ) = \sum_{n \in ℤ} c_{n} δ (ξ - \frac{n}{P}) .$ Spectrul este astfel o sumă de impulsuri Dirac situate la multiplii frecvenței fundamentale, ponderate cu coeficienții seriei Fourier. Forma și sensul convergenței seriei funcției inițiale depind de regularitatea acesteia. Pentru o funcție de pătrat integrabil pe o perioadă, seria converge în norma $L^{2}$ , ceea ce nu trebuie confundat cu o afirmație de convergență punctuală sau uniformă.^[19]

Periodizare și formula de sumare Poisson

Eșantionarea transformatei la frecvențe echidistante este legată de periodizarea funcției inițiale. Pentru o funcție Schwartz $f$ , periodizarea de perioadă $P > 0$ este $f_{P} (x) = \sum_{n \in ℤ} f (x + n P) .$ În acest cadru, seriile și operațiile necesare sunt convergente, iar formula de sumare Poisson dă^[20] $f_{P} (x) = \frac{1}{P} \sum_{k \in ℤ} \hat{f} (\frac{k}{P}) e^{2 π i k x / P} .$ Coeficientul Fourier de ordin $k$ al funcției periodizate este deci $P^{- 1} \hat{f} (k / P)$ . Invers, fiecare eșantion spectral se determină prin integrarea pe o perioadă, $\hat{f} (\frac{k}{P}) = \int_{0}^{P} f_{P} (x) e^{- 2 π i k x / P} d x .$

Pentru $f \in L^{1} (ℝ)$ , seria care definește periodizarea converge absolut aproape peste tot, iar funcția rezultată este integrabilă pe orice interval de lungime egală cu perioada. Coeficienții Fourier ai acestei funcții se exprimă prin valorile $\hat{f} (\frac{k}{P})$ . Totuși, simpla integrabilitate a funcției $f$ nu asigură convergența punctuală a seriei Fourier către funcția periodizată. Dacă $f$ aparține spațiului Schwartz, condițiile suplimentare de regularitate și descreștere rapidă permit justificarea identității dintre seria Fourier și periodizarea funcției.

Exemplu de analiză a unui semnal gaussian modulat

Funcția $f (t) = \cos (2 π \cdot 3 t) e^{- π t^{2}}$ descrie un cosinus de 3 Hz modulat printr-o anvelopă gaussiană. Anvelopa face ca oscilația să crească și să scadă treptat. Transformata este suma a două gaussiene deplasate, $\hat{f} (ξ) = \frac{1}{2} (e^{- π (ξ - 3)^{2}} + e^{- π (ξ + 3)^{2}}) .$ Pentru frecvența de $3 H z$ , partea reală a funcției de sub semnul integralei Fourier este $\frac{e^{- π t^{2}} (1 + \cos (12 π t))}{2}$ . Aceasta nu este negativă și are o integrală strict pozitivă. Partea imaginară este o funcție impară, astfel încât integrala sa pe întreaga axă reală este nulă. Acest rezultat se explică prin faptul că factorii $\cos (6 π t)$ au aceeași fază, iar componenta sinusoidală este defazată cu un sfert de perioadă față de componenta cosinusoidală.

Valoarea exactă este $\hat{f} (3) = \frac{1}{2} (1 + e^{- 36 π})$ , foarte apropiată de $0, 5$ . Aceeași valoare apare la $- 3$ Hz datorită simetriei funcției reale. Cele două componente au împreună contribuția dominantă asociată cosinusului de amplitudine 1. Întrucât anvelopa are un spectru gaussian, acesta nu este concentrat într-o singură frecvență, iar amplitudinea cosinusului nu trebuie identificată exact cu suma valorilor transformatei în numai două puncte.

La 5 Hz, oscilațiile integrandului produc o compensare mult mai puternică. Valoarea transformatei este $\hat{f} (5) = \frac{1}{2} (e^{- 4 π} + e^{- 64 π})$ , pozitivă, dar mică. Exemplul arată cum transformata diferențiază o regiune spectrală dominantă de una în care contribuția este redusă, fără ca aceasta din urmă să fie identic nulă.

Părțile reală și imaginară ale integrandului la frecvența de 5 Hz.
Modulul transformatei, cu frecvențele de 3 Hz și 5 Hz indicate.

În schimb, semnalul complex $e^{2 π i \cdot 3 t} e^{- π t^{2}}$ are transformata $e^{- π (ξ - 3)^{2}}$ , o singură gaussiană centrată la 3 Hz. Valoarea ei maximă este 1, egală cu integrala anvelopei. Apariția celor două maxime pentru cosinusul real rezultă din descompunerea lui în două exponențiale complexe de frecvențe opuse.

Proprietăți

În convenția cu frecvență obișnuită, nucleul transformării este $e^{- 2 π i x ξ}$ . Proprietățile elementare de mai jos sunt valabile pentru funcții din $L^{1} (ℝ)$ , dacă nu se precizează alte ipoteze. Ele se extind și la alte spații de funcții sau de distribuții, cu interpretarea corespunzătoare a transformatei și a egalităților.^[21]

Liniaritate, translație și schimbare de scară

Transformarea Fourier este liniară. Pentru $a, b \in ℂ$ și $f, g \in L^{1} (ℝ)$ , are loc $ℱ (a f + b g) = a \hat{f} + b \hat{g}$ . Translația argumentului funcției produce o schimbare a fazei spectrale, iar înmulțirea cu o exponențială complexă produce o translație în frecvență. Mai precis, $\begin{matrix} ℱ {f (x - x_{0})} (ξ) & = e^{- 2 π i x_{0} ξ} \hat{f} (ξ), x_{0} \in ℝ, \\ ℱ {e^{2 π i ξ_{0} x} f (x)} (ξ) & = \hat{f} (ξ - ξ_{0}), ξ_{0} \in ℝ . \end{matrix}$ Aceste relații explică folosirea transformatei în studiul semnalelor decalate în timp și al modulației.^[21]^[22]

Pentru un factor real $a \neq 0$ , schimbarea de scară este descrisă de $ℱ {f (a x)} (ξ) = \frac{1}{| a |} \hat{f} (\frac{ξ}{a}) .$ Astfel, comprimarea funcției în variabila $x$ dilată transformata în variabila $ξ$ . Cazul $a = - 1$ dă relația de reflexie $ℱ {f (- x)} (ξ) = \hat{f} (- ξ)$ .^[21]

Simetrie și conjugare

Părțile reală și imaginară ale unei funcții complexe se pot descompune, fiecare, într-o parte pară și una impară. Dacă indicii $R E$ , $R O$ , $I E$ și $I O$ desemnează, în această ordine, partea reală pară, reală impară, imaginară pară și imaginară impară, corespondențele sunt $\begin{matrix} Componentă în domeniul inițial & Componentă a transformatei \\ f_{R E} & {\hat{f}}_{R E} \\ f_{R O} & i {\hat{f}}_{I O} \\ i f_{I E} & i {\hat{f}}_{I E} \\ i f_{I O} & {\hat{f}}_{R O} \end{matrix}$ În acest tabel, funcțiile notate prin componente sunt reale. Factorul $i$ este scris separat.^[23]

În consecință, transformata unei funcții reale este hermitiană, adică $\hat{f} (- ξ) = \overline{\hat{f} (ξ)}$ . Reciproc, o transformată adjunctă corespunde unei funcții reale, în sensul egalității adoptat în spațiul respectiv. Transformata unei funcții pur imaginare este anti-adjunctă, satisfăcând $\hat{f} (- ξ) = - \overline{\hat{f} (ξ)}$ . Transformata unei funcții adjuncte este reală, iar a unei funcții anti-adjuncte este pur imaginară.^[23]

Relația generală pentru conjugarea complexă este $ℱ {\overline{f (x)}} (ξ) = \overline{\hat{f} (- ξ)} .$ Din aceasta rezultă formulele pentru părțile reală și imaginară, $\begin{matrix} ℱ {Re f} (ξ) & = \frac{\hat{f} (ξ) + \overline{\hat{f} (- ξ)}}{2}, \\ ℱ {Im f} (ξ) & = \frac{\hat{f} (ξ) - \overline{\hat{f} (- ξ)}}{2 i} . \end{matrix}$ Simetria adjunctă nu trebuie confundată cu paritatea obișnuită a unei funcții complexe. Ea pune în relație valorile în puncte opuse prin conjugare.^[21]

Valoarea în origine și comportamentul la infinit

Valoarea transformatei la frecvența zero este $\hat{f} (0) = \int_{ℝ} f (x) d x$ . Pentru o funcție integrabilă, aceasta reprezintă integrala totală sau aria algebrică a semnalului. Interpretarea ei trebuie deosebită de media temporală a unui semnal periodic sau staționar.^[21]

Pentru orice $f \in L^{1} (ℝ)$ , transformata este uniform continuă și satisface estimarea $‖ \hat{f} ‖_{\infty} \leq ‖ f ‖_{1}$ . Lema Riemann–Lebesgue afirmă că $\hat{f} (ξ) \to 0$ când $| ξ | \to \infty$ .^[24]^[25]

Transformata nu este însă neapărat integrabilă. Un exemplu este perechea formată din funcția dreptunghiulară și funcția sinc normalizată. Integrala improprie a funcției sinc converge, dar integrala modulului său diverge. În consecință, pentru o funcție arbitrară din $L^{1}$ , inversarea nu se poate interpreta automat ca o integrală Lebesgue. Dacă atât $f$ , cât și $\hat{f}$ aparțin lui $L^{1} (ℝ)$ , atunci $f (x) = \int_{ℝ} \hat{f} (ξ) e^{2 π i x ξ} d ξ$ aproape peste tot. Într-un punct de continuitate al reprezentantului ales pentru $f$ , egalitatea este punctuală. Transformarea Fourier este injectivă pe $L^{1}$ , considerat ca spațiu de clase de funcții egale aproape peste tot.^[26]

Relația lui Parseval și teorema lui Plancherel

Pentru $f, g \in L^{1} (ℝ) \cap L^{2} (ℝ)$ , relația lui Parseval are forma $⟨ f, g ⟩_{L^{2}} = \int_{ℝ} f (x) \overline{g (x)} d x = \int_{ℝ} \hat{f} (ξ) \overline{\hat{g} (ξ)} d ξ .$ În special, $‖ f ‖_{2}^{2} = \int_{ℝ} | f (x) |^{2} d x = \int_{ℝ} | \hat{f} (ξ) |^{2} d ξ .$ Această egalitate a normelor permite prelungirea unică prin continuitate a transformării Fourier la un operator unitar pe întregul spațiu $L^{2} (ℝ)$ . Pe intersecția $L^{1} \cap L^{2}$ , prelungirea coincide cu transformarea definită prin integrală.^[27] Definițiile sunt astfel compatibile pe suma de spații $L^{1} (ℝ) + L^{2} (ℝ)$ , care conține și $L^{p} (ℝ)$ pentru $1 \leq p \leq 2$ . În aplicații, egalitatea normelor pătratice exprimă conservarea energiei semnalului.^[27]^[28]

Convoluție și corelație

Articol principal: Convoluție

Transformarea Fourier transformă convoluția în produs. Dacă $f, g \in L^{1} (ℝ)$ și $h (x) = (f * g) (x) = \int_{ℝ} f (y) g (x - y) d y,$ atunci $\hat{h} (ξ) = \hat{f} (ξ) \hat{g} (ξ)$ . Sub alte convenții de normalizare poate apărea un factor constant.^[26]^[29]

În teoria sistemelor liniare invariante în timp, $g$ poate reprezenta răspunsul la impuls al unui sistem, $f$ semnalul de intrare, iar $h$ semnalul de ieșire. Relația $δ * g = g$ explică denumirea răspunsului la impuls, iar $\hat{g}$ este răspunsul sistemului în frecvență. Produsul spectral permite calcularea ieșirii fără evaluarea directă a integralei de convoluție.^[30]

În sens dual, dacă $p, q \in L^{2} (ℝ)$ , produsul $p q$ este integrabil și $ℱ (p q) (ξ) = (\hat{p} * \hat{q}) (ξ) .$ Integrala din membrul drept este definită prin inegalitatea Cauchy–Schwarz. Ipoteza că ambii factori ar fi numai integrabili nu ar garanta, în general, integrabilitatea produsului.^[26]

Pentru convenția de corelație încrucișată $(f ⋆ g) (x) = \int_{ℝ} \overline{f (y)} g (x + y) d y$ , relația corespunzătoare este $ℱ (f ⋆ g) (ξ) = \overline{\hat{f} (ξ)} \hat{g} (ξ)$ . Ea este valabilă, de exemplu, pentru $f, g \in L^{1} \cap L^{2}$ . Pentru date doar din $L^{2}$ , corelația este bine definită, iar identitatea se interpretează prin inversarea produsului spectral integrabil sau în sensul distribuțiilor. Cazul particular $g = f$ dă autocorelația și relația $ℱ (f ⋆ f) (ξ) = | \hat{f} (ξ) |^{2} .$ Această identitate pentru semnale de energie este înrudită cu teorema Wiener–Hincin pentru spectrele proceselor staționare, unde ipotezele și normalizarea corelației sunt diferite.^[21]^[30]

Derivare și regularitate

Dacă $f$ este local absolut continuă și $f, f^{'} \in L^{1} (ℝ)$ , integrarea prin părți conduce la $\hat{f^{'}} (ξ) = 2 π i ξ \hat{f} (ξ) .$ Continuitatea absolută este esențială pentru această formulare cu derivată clasică aproape peste tot. Simpla existență aproape peste tot a derivatei și integrabilitatea ei nu sunt suficiente. O formulare echivalentă folosește derivata generalizată și condiția $f \in W^{1, 1} (ℝ)$ .^[31]^[32]

Mai general, pentru $f \in W^{n, 1} (ℝ)$ , $\hat{f^{(n)}} (ξ) = (2 π i ξ)^{n} \hat{f} (ξ) .$ În cealaltă direcție, dacă $f$ și $x^{n} f (x)$ sunt integrabile, transformata admite derivatele corespunzătoare și $ℱ {x^{n} f (x)} (ξ) = {(\frac{i}{2 π})}^{n} \frac{d^{n} \hat{f}}{d ξ^{n}} (ξ) .$ În particular, pe spațiul Schwartz, toate aceste operații sunt definite și se poate scrie și $ℱ^{- 1} {\frac{d^{n} \hat{f}}{d ξ^{n}}} (x) = (- 2 π i x)^{n} f (x) .$ ^[33]^[34]

Derivarea unei funcții devine astfel înmulțire cu un polinom în variabila spectrală, proprietate care transformă anumite ecuații diferențiale în ecuații algebrice. Formulele exprimă și legătura dintre regularitate și descreșterea transformatei. Derivatele integrabile produc factori suplimentari de descreștere în frecvență, iar existența momentelor integrabile produce regularitatea transformatei. Pe spațiul Schwartz, relația se exprimă exact prin invarianța acestui spațiu la transformarea Fourier.^[33]

Funcții proprii și funcții Hermite

Articol principal: Polinoame Hermite

O funcție proprie nenulă a transformării Fourier satisface $ℱ ψ = λ ψ$ , pentru un scalar $λ \in ℂ$ . Funcțiile proprii pot fi obținute din operatori diferențiali compatibili cu transformarea. Dacă o ecuație omogenă definește un spațiu de soluții invariant la $ℱ$ și acest spațiu este unidimensional, soluțiile sale nenule sunt funcții proprii. Invarianța singură nu implică această concluzie pentru fiecare soluție a unei ecuații cu un spațiu de soluții de dimensiune mai mare.^[35]^[36]

Un procedeu formal pornește de la ecuația $[U (\frac{1}{2 π} \frac{d}{d x}) + U (x)] ψ (x) = 0.$ Pentru un polinom $U$ , notația operatorială se obține înlocuind variabila cu operatorul de derivare. Dacă toate monomiile sale au grade congruente modulo $4$ , transformarea ecuației introduce un singur factor comun de forma $i^{k}$ , care poate fi simplificat. Spațiul soluțiilor potrivite este astfel invariant. Pentru o funcție $U$ dată printr-o serie de puteri, aceeași scriere cere în plus justificarea convergenței seriei de operatori și precizarea domeniului. Alegerea $U (x) = x$ conduce la $ψ^{'} (x) + 2 π x ψ (x) = 0$ , ale cărei soluții sunt multipli ai gaussianei $e^{- π x^{2}}$ .^[35]

O altă construcție folosește operatorul $A = W (\frac{i}{2 π} \frac{d}{d x}) + W (x) .$ Pentru un polinom par $W$ , acesta comută cu transformarea Fourier pe spațiul Schwartz. Ecuația $A ψ = C ψ$ permite alegerea unor funcții proprii comune atunci când realizarea operatorului și proprietățile spațiilor sale proprii o permit. Cazul $W (x) = x^{2}$ este cel al oscilatorului armonic cuantic și furnizează baza funcțiilor Hermite.^[36]

În convenția transformatei Fourier cu nucleul $e^{- 2 π i x ξ}$ , funcțiile Hermite pot fi exprimate cu ajutorul polinoamelor Hermite definite prin convenția utilizată în teoria probabilităților. Aceste funcții au forma:

ψ_{n} (x) = \frac{2^{1 / 4}}{\sqrt{n!}} e^{- π x^{2}} {He}_{n} (2 \sqrt{π} x), n = 0, 1, 2, \dots

,

unde polinoamele ${He}_{n}$ sunt definite prin relația:

{He}_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2} / 2} {(\frac{d}{d x})}^{n} e^{- x^{2} / 2}

Funcțiile $ψ_{n}$ formează o bază ortonormată completă a spațiului $L^{2} (ℝ)$ și sunt funcții proprii ale transformatei Fourier, cu valorile proprii $(- i)^{n}$ . Mai precis, ele satisfac relația ${\hat{ψ}}_{n} (ξ) = (- i)^{n} ψ_{n} (ξ)$ . Dacă în definiția transformatei Fourier se utilizează nucleul cu exponent pozitiv, valorile proprii corespunzătoare sunt $i^{n}$ .^[21]^[37]^[38]

Transformarea are numai patru valori proprii, $1, - 1, i, - i$ , iar combinațiile liniare ale funcțiilor proprii cu aceeași valoare proprie rămân funcții proprii. Spațiul $L^{2} (ℝ)$ este suma directă ortogonală a celor patru subspații proprii. De exemplu, subspațiul corespunzător valorii $i^{k}$ este generat, după închidere, de funcțiile $ψ_{n}$ pentru care $(- i)^{n} = i^{k}$ .^[38]

Dezvoltarea unei funcții în această bază diagonalizează operatorul Fourier, $ℱ f = \sum_{n = 0}^{\infty} (- i)^{n} ⟨ f, ψ_{n} ⟩ ψ_{n}$ . Seria converge în norma $L^{2}$ . Scrierea echivalentă a nucleului, $e^{- 2 π i x ξ} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- i)^{n} ψ_{n} (x) ψ_{n} (ξ)$ , se interpretează în sensul distribuțiilor temperate, fără a presupune convergență absolută punctuală. Această reprezentare spectrală, legată de o construcție propusă de Wiener, explică și extinderea la transformata Fourier fracționară.^[39]^[40]

Operatorul număr al oscilatorului armonic are forma:

N = \frac{1}{4 π} (2 π x - \frac{d}{d x}) (2 π x + \frac{d}{d x}) = - \frac{1}{4 π} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + π x^{2} - \frac{1}{2}

.

Operatorul $N$ , considerat în realizarea sa autoadjunctă, are funcțiile Hermite $ψ_{n}$ drept funcții proprii, corespunzătoare valorilor proprii $n$ , potrivit relației $N ψ_{n} = n ψ_{n}$ . Prin calculul spectral se obține familia de operatori unitari $e^{- i t N}$ , definită pentru orice $t \in ℝ$ . Transformata Fourier, în convenția cu nucleul $e^{- 2 π i x ξ}$ , este un caz particular al acestei familii, corespunzător valorii $t = \frac{π}{2}$ , astfel încât $ℱ = e^{- i π N / 2}$ . Funcțiile Hermite rămân funcții proprii pentru fiecare operator al familiei, având valorile proprii $e^{- i t n}$ . Reprezentarea integrală a acestor operatori este legată de formula lui Mehler, care exprimă nucleul integral prin intermediul funcțiilor Hermite.^[41]^[42]

Funcțiile Hermite au descreștere gaussiană atât în variabila inițială, cât și în cea spectrală. Această localizare explică rolul lor în analiza timp–frecvență și în transformata Fourier fracționară. În fizică, o construcție a acestei familii de transformări a fost dată de Condon. Prin extinderea la distribuții, și pieptenele Dirac cu pasul $1$ este invariant la transformarea Fourier.^[43]^[44]

Inversare și periodicitatea operatorului

Pe spațiul Schwartz, pe $L^{2}$ și pe spațiul distribuțiilor temperate, aplicarea de două ori a transformării Fourier produce reflexia argumentului. Dacă $(𝒫 f) (x) = f (- x)$ , atunci:

\begin{matrix} ℱ^{0} & = I, \\ ℱ^{1} & = ℱ, \\ ℱ^{2} & = 𝒫, \\ ℱ^{3} & = ℱ^{- 1} = 𝒫 ℱ = ℱ 𝒫, \\ ℱ^{4} & = I \end{matrix}

.

În $L^{2}$ , egalitățile se referă la clase de funcții egale aproape peste tot. În $𝒮^{'}$ , sunt egalități de distribuții. Pentru o funcție arbitrară din $L^{1}$ , iterațiile nu trebuie confundate cu aplicări succesive ale integralei Lebesgue, deoarece prima transformată poate să nu mai aparțină lui $L^{1}$ .^[45]^[38]

Periodicitatea de ordin patru poate fi pusă în legătură cu o rotație de $9 0^{\circ}$ în planul timp–frecvență. Iterarea de două ori corespunde rotației de $18 0^{\circ}$ și reflexiei ambelor variabile. Transformata fracționară permite unghiuri intermediare. Transformările canonice liniare generalizează această interpretare la acțiunea grupului ${S L}_{2} (ℝ)$ asupra planului fazelor, cu păstrarea formei simplectice. Realizarea lor prin operatori unitari implică alegerea convențiilor de fază.^[46]^[47]

Legătura cu grupul Heisenberg

Pe $L^{2} (ℝ)$ , translațiile și modulațiile sunt operatori unitari, $(T_{y} f) (x) = f (x + y), (M_{ξ} f) (x) = e^{2 π i ξ x} f (x)$ . Ei nu comută cu aceste semne, $T_{y} M_{ξ} = e^{2 π i ξ y} M_{ξ} T_{y}$ , astfel încât $M_{ξ}^{- 1} T_{y}^{- 1} M_{ξ} T_{y} = e^{- 2 π i ξ y} I$ . Comutatorul este o înmulțire cu un scalar de modul $1$ , independent de variabila funcției.^[11]^[48]

O realizare coerentă a grupului generat de acești operatori folosește triple $(x, ξ, z) \in ℝ^{2} \times U (1)$ , cu reprezentarea $ρ (x, ξ, z) = z M_{ξ} T_{x}$ . Legea de compoziție este $(x_{1}, ξ_{1}, z_{1}) (x_{2}, ξ_{2}, z_{2}) = (x_{1} + x_{2}, ξ_{1} + ξ_{2}, z_{1} z_{2} e^{2 π i x_{1} ξ_{2}})$ . Aceasta este o versiune a grupului Heisenberg cu centru circular. Formulele legii de grup depind de ordinea aleasă pentru translație și modulație, precum și de semnul din definiția translației.^[11]^[48]

Aplicația liniară $J (\begin{matrix} x \\ ξ \end{matrix}) = (\begin{matrix} - ξ \\ x \end{matrix}), J^{2} = - I$ , admite, în aceste coordonate, ridicarea la automorfismul $j (x, ξ, z) = (- ξ, x, z e^{- 2 π i x ξ}) .$ Transformarea Fourier leagă cele două reprezentări prin $ρ \circ j = ℱ ρ ℱ^{*}$ . Relația exprimă schimbarea dintre translațiile în variabila inițială și modulațiile în variabila duală.^[11]^[47]

Teorema Stone–von Neumann afirmă echivalența unitară a reprezentărilor unitare ireductibile, continue în sens tare, ale grupului Heisenberg care au aceeași acțiune netrivială a centrului. Operatorul unitar care realizează echivalența este unic până la un factor scalar de modul $1$ , conform lemei lui Schur. În cazul automorfismului $j$ , alegerea fazei corespunzătoare normalizării Fourier dă operatorul $ℱ$ . În acest cadru, $ℱ^{2} = 𝒫$ reflectă relația $J^{2} = - I$ .^[49]^[11]

Prelungirea în domeniul complex și transformata Laplace

Integrala $\hat{f} (ζ) = \int_{ℝ} e^{- 2 π i t ζ} f (t) d t$ poate fi studiată și pentru $ζ = σ + i τ \in ℂ$ . Domeniul în care converge depinde de descreșterea lui $f$ . Uneori nu admite o prelungire dincolo de axa reală, alteori definește o funcție olomorfă într-o bandă sau chiar o funcție întreagă.^[50]

Suport compact și cauzalitate

O formă a teoremei Paley–Wiener caracterizează funcțiile netede cu suport compact. O funcție $f \in C_{c}^{\infty} (ℝ)$ are suportul în $[- a, a]$ dacă și numai dacă transformata ei se prelungește la o funcție întreagă pentru care, pentru fiecare întreg $n \geq 0$ , există o constantă $C_{n}$ astfel încât $| ζ^{n} \hat{f} (ζ) | \leq C_{n} e^{2 π a | Im ζ |}$ . Transformata descrește rapid pe fiecare dreaptă orizontală, iar creșterea în direcția imaginară este controlată de suportul funcției inițiale. Există și versiuni pentru funcții de pătrat integrabil, în care condiția de descreștere rapidă este înlocuită de o condiție potrivită de integrabilitate pătratică. Spațiile de funcții întregi astfel obținute sunt numite spații Paley–Wiener. Teoreme de acest tip au fost extinse și la grupuri Lie reductive.^[51]^[52]^[53]

O funcție care se anulează pentru $t < 0$ este numită cauzală. Pentru răspunsul la impuls al unui sistem cauzal, această condiție exprimă absența unui răspuns anterior impulsului. Dacă $f \in L^{1} (ℝ)$ este cauzală, aceeași integrală definește o funcție holomorfă în semiplanul inferior $τ < 0$ , iar valorile ei tind la zero când $τ \to - \infty$ . Rezultatele reciproce cer ipoteze suplimentare de creștere sau apartenența la spații Hardy. Simpla holomorfie într-un semiplan nu caracterizează, singură, toate transformatele funcțiilor cauzale.^[50]^[54]^[55]

Relația cu transformata Laplace

Articol principal: Transformată Laplace

Pentru o funcție cauzală local integrabilă care satisface $| f (t) | \leq C e^{a t}$ pentru $t \geq 0$ , integrala $\hat{f} (i τ) = \int_{0}^{\infty} e^{2 π τ t} f (t) d t$ , converge atunci când $2 π τ < - a$ . Dacă $F (s) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- s t} d t$ , este transformata Laplace unilaterală, atunci $\hat{f} (ζ) = F (2 π i ζ)$ în domeniul comun de convergență și, în particular, $\hat{f} (i τ) = F (- 2 π τ)$ .^[56]

Factorul exponențial suplimentar permite transformatei Laplace să trateze funcții pentru care integrala Fourier nu converge pe axa reală. În acest sens, o transformată Laplace este o transformată Fourier a unei funcții ponderate exponențial, evaluată pe o dreaptă adecvată din planul complex. Această legătură este folosită în rezolvarea ecuațiilor diferențiale și în analiza filtrelor și a sistemelor liniare, inclusiv în situațiile în care comportarea temporală nu permite o descriere Fourier clasică.^[56]

Deplasarea conturului și inversarea

Dacă $\hat{f}$ este olomorfă într-o bandă orizontală care conține dreptele $Im ζ = a$ și $Im ζ = b$ , iar descreșterea sa permite anularea contribuțiilor laturilor verticale ale conturului, teorema integrală a lui Cauchy dă $\int_{ℝ} \hat{f} (σ + i a) e^{2 π i (σ + i a) t} d σ = \int_{ℝ} \hat{f} (σ + i b) e^{2 π i (σ + i b) t} d σ$ . Formula de inversare poate fi astfel exprimată prin integrare pe drepte paralele cu axa reală. Descreșterea în bandă și sensul convergenței integralei fac parte din ipotezele rezultatului.^[57]

Pentru o funcție cauzală $f$ , a cărei creștere este de ordin exponențial, cel mult $e^{a t}$ , se alege un număr real $τ < - \frac{a}{2 π}$ . În condițiile care asigură existența și inversarea transformatei, funcția poate fi reconstituită prin integrarea transformatei Fourier complexe de-a lungul dreptei orizontale din planul complex, definită de partea imaginară $τ$

f (t) = \int_{ℝ} \hat{f} (σ + i τ) e^{2 π i (σ + i τ) t} d σ

Prin schimbarea de variabilă $s = 2 π i (σ + i τ)$ , această relație conduce la formula de inversare a transformatei Laplace, cunoscută sub denumirea de formula Bromwich–Mellin

f (t) = \frac{1}{2 π i} \int_{b - i \infty}^{b + i \infty} F (s) e^{s t} d s

,

unde $F (s)$ reprezintă transformata Laplace a funcției $f$ , iar $b = - 2 π τ > a$ . Integrarea se efectuează de-a lungul dreptei verticale $Re (s) = b$ , orientată de jos în sus, situată în semiplanul de convergență al transformatei Laplace.^[56]

O condiție suficientă mai generală cere ca $e^{- b t} f (t)$ să fie integrabilă și ca $f$ să aibă variație mărginită într-o vecinătate închisă a punctului analizat. Integrala de inversare este atunci luată ca limită simetrică. La un salt, ea restituie media limitelor laterale, iar la un punct de continuitate restituie valoarea funcției. Variante în norma $L^{2}$ se obțin prin aplicarea teoremei lui Plancherel funcției ponderate corespunzătoare.^[58]

Transformata Fourier în spațiul euclidian

Pentru o funcție integrabilă $f : ℝ^{n} \to ℂ$ , transformata este $\hat{f} (𝝃) = \int_{ℝ^{n}} f (𝐱) e^{- 2 π i 𝝃 \cdot 𝐱} d 𝐱$ . Aici $𝝃 \cdot 𝐱$ este produsul scalar. Într-o formulare independentă de coordonate, variabila spectrală aparține spațiului vectorial dual, iar exponentul folosește împerecherea dintre vectori și forme liniare. Proprietățile elementare, lema Riemann–Lebesgue și teoremele Parseval și Plancherel au versiuni analoage în orice dimensiune finită.^[26]

Principiul incertitudinii

Articol principal: Principiul incertitudinii

Localizarea unei funcții și cea a transformatei sale Fourier nu pot fi oricât de precise simultan. Această proprietate este sugerată de comportamentul transformatei Fourier la schimbarea scării. Comprimarea unei funcții în variabila inițială determină o dilatare corespunzătoare în domeniul frecvențelor. Principiul incertitudinii exprimă cantitativ această relație prin momentele de ordinul al doilea ale densităților asociate funcției și transformatei sale.^[59]

În cazul unidimensional, pentru o funcție $f \in L^{2} (ℝ)$ normalizată prin $‖ f ‖_{2} = 1$ , teorema lui Plancherel asigură egalitatea $‖ \hat{f} ‖_{2} = 1$ . Funcțiile pozitive $| f |^{2}$ și $| \hat{f} |^{2}$ au integrala egală cu $1$ și pot fi interpretate ca densități de probabilitate. Momentul de ordinul al doilea față de origine este definit prin

D_{0} (f) = \int_{ℝ} x^{2} | f (x) |^{2} d x

.

Dacă $f$ este local absolut continuă, $x f \in L^{2} (ℝ)$ și $f^{'} \in L^{2} (ℝ)$ , principiul incertitudinii se exprimă prin inegalitatea

D_{0} (f) D_{0} (\hat{f}) \geq \frac{1}{16 π^{2}}

.

Această relație arată că momentele de ordinul al doilea ale celor două densități nu pot fi simultan arbitrar de mici.^[59]^[60]

Egalitatea este atinsă de funcțiile gaussiene centrate, fără modulație, de forma

f (x) = C e^{- \frac{π x^{2}}{σ^{2}}}, \hat{f} (ξ) = σ C e^{- π σ^{2} ξ^{2}}

,

unde $σ > 0$ și $| C | = \frac{2^{1 / 4}}{\sqrt{σ}}$ . Argumentul complex al constantei $C$ poate fi ales arbitrar. Pentru aceste funcții, momentele de ordinul al doilea sunt

D_{0} (f) = \frac{σ^{2}}{4 π}, D_{0} (\hat{f}) = \frac{1}{4 π σ^{2}}

.

Deoarece densitățile $| f |^{2}$ și $| \hat{f} |^{2}$ sunt centrate în origine, aceste momente coincid cu varianțele lor. Trebuie făcută distincția între funcțiile gaussiene care reprezintă amplitudinile și densitățile obținute prin ridicarea la pătrat a modulelor acestora. Dacă funcțiile $e^{- \frac{π x^{2}}{σ^{2}}}$ și $e^{- π σ^{2} ξ^{2}}$ sunt normalizate separat astfel încât integralele lor să fie egale cu $1$ , varianțele corespunzătoare sunt $\frac{σ^{2}}{2 π}$ și $\frac{1}{2 π σ^{2}}$ . Această diferență de normalizare explică apariția unor constante diferite în formulele pentru varianțe.^[59]^[61]

Prin translație și modulație se obține forma centrată a principiului incertitudinii, în care momentele sunt calculate față de punctele arbitrare $x_{0}$ și $ξ_{0}$

(\int_{ℝ} (x - x_{0})^{2} | f (x) |^{2} d x) (\int_{ℝ} (ξ - ξ_{0})^{2} | \hat{f} (ξ) |^{2} d ξ) \geq \frac{1}{16 π^{2}}

.

Egalitatea este atinsă de funcțiile de forma $f (x) = C e^{2 π i ξ_{0} x} e^{- s (x - x_{0})^{2}}$ , unde $s > 0$ , iar constanta $C$ este aleasă astfel încât $‖ f ‖_{2} = 1$ . În mecanica cuantică, relația dintre impuls și frecvența spațială permite exprimarea acestei inegalități cu ajutorul constantei lui Planck, obținându-se relația de incertitudine dintre poziție și impuls.^[61]^[62]

Principiul incertitudinii admite și o formulare în termenii entropiei diferențiale. Pentru o funcție $f$ normalizată prin $‖ f ‖_{2} = 1$ , inegalitatea entropică este

H (| f |^{2}) + H (| \hat{f} |^{2}) \geq \log (\frac{e}{2})

, unde entropia diferențială a unei densități de probabilitate

p

este definită prin

H (p) = - \int_{ℝ} p (x) \log p (x) d x

.

Relația presupune existența entropiilor respective, de exemplu ca numere reale finite. Logaritmii trebuie calculați în aceeași bază, mai mare decât $1$ . Inegalitatea entropică a fost studiată de Hirschman, iar constanta optimă a fost stabilită prin rezultatele lui Białynicki-Birula și Mycielski, respectiv Beckner. Această formulare implică inegalitatea bazată pe varianțe, folosind proprietatea conform căreia distribuția gaussiană are entropie maximă dintre distribuțiile cu aceeași varianță finită. Egalitatea este atinsă și în cazul entropic de funcțiile gaussiene corespunzătoare.^[63]

Transformatele sinus și cosinus

Formularea inițială a lui Fourier folosea funcții sinus și cosinus, fără exponențiale complexe. Pentru o funcție integrabilă pentru care inversarea este valabilă, descompunerea poate fi scrisă numai cu frecvențe pozitive, $f (t) = \int_{0}^{\infty} [a (λ) \cos (2 π λ t) + b (λ) \sin (2 π λ t)] d λ$ , cu $\begin{matrix} a (λ) & = 2 \int_{ℝ} f (t) \cos (2 π λ t) d t, \\ b (λ) & = 2 \int_{ℝ} f (t) \sin (2 π λ t) d t \end{matrix}$ . Aceasta este o dezvoltare în integrală trigonometrică. Normalizarea trebuie precizată, deoarece denumirile de transformată sinus și transformată cosinus sunt folosite și pentru integrale pe semiaxă cu alți factori. Evitarea frecvențelor negative poate fi convenabilă în unele interpretări fizice și statistice.^[64]^[56]

Identitățile trigonometrice conduc și la formula integrală Fourier $f (t) = 2 \int_{0}^{\infty} [\int_{ℝ} f (τ) \cos (2 π λ (τ - t)) d τ] d λ$ . Integrala exterioară trebuie interpretată în sensul de convergență corespunzător teoremei de inversare utilizate. Integrabilitatea lui $f$ singură nu justifică schimbarea arbitrară a ordinii celor două integrale.^[65]^[66]^[67]

Armonice sferice și funcții radiale

În $ℝ^{n}$ , polinoamele omogene armonice de grad $k$ formează un spațiu notat $𝒜_{k}$ . Ele sunt numite și armonice sferice solide. Dacă $P \in 𝒜_{k}$ și $f (𝐱) = e^{- π | 𝐱 |^{2}} P (𝐱)$ , atunci $\hat{f} (𝝃) = i^{- k} f (𝝃)$ . Ele oferă astfel funcții proprii în mai multe dimensiuni, într-un rol analog celui al funcțiilor Hermite.^[26]

Fie $ℋ_{k}$ închiderea în $L^{2} (ℝ^{n})$ a combinațiilor liniare de funcții $f_{0} (| 𝐱 |) P (𝐱)$ , cu $P \in 𝒜_{k}$ , care aparțin acestui spațiu. Atunci $L^{2} (ℝ^{n})$ este suma directă ortogonală a spațiilor $ℋ_{k}$ , iar transformarea Fourier lasă fiecare dintre ele invariant. Pentru o funcție integrabilă de forma $f (𝐱) = f_{0} (| 𝐱 |) P (𝐱)$ , are loc

\hat{f} (𝝃) = F_{0} (| 𝝃 |) P (𝝃)

, unde, pentru

r > 0

,

$F_{0} (r) = 2 π i^{- k} r^{- (n + 2 k - 2) / 2} \int_{0}^{\infty} f_{0} (s) J_{(n + 2 k - 2) / 2} (2 π r s) s^{(n + 2 k) / 2} d s$ . Funcția $J_{ν}$ este funcția Bessel de speța întâi și ordinul $ν$ . Cazul $k = 0$ dă transformata unei funcții radiale și o exprimă printr-o transformată Hankel.^[26]^[68]

Există și o recurență între dimensiunile $n$ și $n + 2$ . Dacă același profil $f_{0}$ definește funcții radiale integrabile în ambele dimensiuni, iar $ℱ_{n} (f_{0}) (r)$ desemnează profilul radial al transformatei în dimensiunea $n$ , atunci $ℱ_{n + 2} (f_{0}) (r) = - \frac{1}{2 π r} \frac{d}{d r} ℱ_{n} (f_{0}) (r), r > 0.$ Aceasta permite, de exemplu, calcularea transformatei tridimensionale din cea unidimensională. Rezultatul are și versiuni pentru distribuții radiale temperate.^[69]

Restricția transformatei și trunchierea spectrală

Transformata unei funcții integrabile este continuă și poate fi restrânsă la orice submulțime a spațiului frecvențelor. Pentru o funcție arbitrară din $L^{2} (ℝ^{n})$ , transformata este însă o clasă de echivalență aproape peste tot, astfel încât valorile sale pe o mulțime de măsură Lebesgue nulă nu sunt determinate de acea clasă. Problema restricției studiază condițiile în care operatorul definit inițial pentru funcții suficient de regulate admite o prelungire continuă la alte clase $L^{p}$ . Curbura mulțimii pe care se face restricția are un rol esențial.^[39]

Pentru sfera unitate $S^{n - 1} \subset ℝ^{n}$ , cu $n \geq 2$ , teorema Tomas–Stein afirmă că operatorul $R f = \hat{f} |_{S^{n - 1}}$ se prelungește la un operator mărginit

R : L^{p} (ℝ^{n}) ⟶ L^{2} (S^{n - 1}, d σ), 1 \leq p \leq \frac{2 (n + 1)}{n + 3}

, unde

d σ

este măsura de suprafață.

Afirmația nu presupune alegerea unor valori punctuale arbitrare ale unei clase $L^{p}$ pe sferă.^[39]

O altă diferență între dimensiunea $1$ și dimensiunile superioare apare la inversarea prin trunchierea domeniului spectral. Pentru o familie crescătoare de mulțimi mărginite $E_{R}$ , se poate defini, inițial pentru $f \in L^{1} \cap L^{p}$ , $f_{R} (𝐱) = \int_{E_{R}} \hat{f} (𝝃) e^{2 π i 𝐱 \cdot 𝝃} d 𝝃 .$ În dimensiunea $1$ , pentru $E_{R} = (- R, R)$ și $1 < p < \infty$ , funcțiile $f_{R}$ converg la $f$ în norma $L^{p}$ . Rezultatul este legat de mărginirea transformării Hilbert pe aceste spații. În mai multe dimensiuni, convergența în $L^{p}$ se păstrează pentru trunchieri prin cuburi.^[39]

Pentru bile euclidiene, situația este diferită. Teorema lui Fefferman afirmă că, în dimensiune $n \geq 2$ , multiplicatorul Fourier definit de funcția indicatoare a bilei unitate este mărginit pe $L^{p} (ℝ^{n})$ numai în cazul $p = 2$ . Pentru $p \neq 2$ , aceasta împiedică o teoremă generală de convergență în norma $L^{p}$ pentru toate datele. Concluzia privește mărginirea operatorilor și convergența familiei de trunchieri, fără a afirma că fiecare trunchiere a unei funcții integrabile ar ieși din $L^{p}$ .^[70]^[71]

Transformata Fourier pe spații de funcții și de distribuții

Spațiile L¹ și L²

Articol principal: Spațiu Lp

În orice dimensiune finită, definiția integrală dă un operator mărginit $ℱ : L^{1} (ℝ^{n}) \to L^{\infty} (ℝ^{n})$ , deoarece $sup_{𝝃 \in ℝ^{n}} | \hat{f} (𝝃) | \leq \int_{ℝ^{n}} | f (𝐱) | d 𝐱 .$ Lema Riemann–Lebesgue precizează că imaginea sa se află în $C_{0} (ℝ^{n})$ , spațiul funcțiilor continue care tind la zero la infinit. Imaginea lui $L^{1}$ este totuși o submulțime proprie a acestui spațiu.^[25]^[72]^[73]

Pentru $f \in L^{2} (ℝ^{n})$ , integrala Fourier nu este neapărat o integrală Lebesgue convergentă. Transformata se definește prin prelungirea unitară a operatorului de pe subspațiul dens $L^{1} \cap L^{2}$ . O realizare explicită este $\hat{f} = lim_{R \to \infty} \int_{| 𝐱 | \leq R} f (𝐱) e^{- 2 π i 𝝃 \cdot 𝐱} d 𝐱,$ unde limita este luată în norma $L^{2}$ , ca limită de funcții ale variabilei $𝝃$ . Mai general, orice șir din $L^{1} \cap L^{2}$ care converge la $f$ în $L^{2}$ produce același rezultat prin trecerea la limită a transformatelor.^[28]^[74]

Unitaritatea înseamnă bijectivitate și conservarea produsului scalar. Identitatea biliniară $\int_{ℝ^{n}} f (𝐱) ℱ g (𝐱) d 𝐱 = \int_{ℝ^{n}} ℱ f (𝐱) g (𝐱) d 𝐱$ este valabilă pentru $f, g \in L^{2}$ . Împreună cu inversarea și relația $\overline{ℱ f} = ℱ^{- 1} \overline{f}$ , ea conduce la $\begin{matrix} \int_{ℝ^{n}} \overline{ℱ f} ℱ g & = \int_{ℝ^{n}} (ℱ^{- 1} \overline{f}) ℱ g \\ = \int_{ℝ^{n}} ℱ (ℱ^{- 1} \overline{f}) g = \int_{ℝ^{n}} \overline{f} g . \end{matrix}$ În această scriere, toate integralele sunt în raport cu măsura Lebesgue. Formula exprimă conservarea produsului scalar, distinctă de identitatea biliniară fără conjugare.^[28]

Alte spații Lᵖ

Pentru $1 < p < 2$ , o funcție din $L^{p}$ poate fi descompusă într-o parte din $L^{2}$ , unde $| f | \leq 1$ , și o parte din $L^{1}$ , unde $| f | > 1$ . Compatibilitatea definițiilor permite astfel definirea transformatei. Teorema de interpolare Riesz–Thorin și inegalitatea Hausdorff–Young dau estimarea $‖ \hat{f} ‖_{q} \leq ‖ f ‖_{p}, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, 1 \leq p \leq 2$ . Pentru $p = 1$ , se ia $q = \infty$ . În afara cazului $p = 2$ , imaginea nu admite o caracterizare la fel de simplă ca întregul spațiu țintă.^[75]^[26]

Funcțiile din $L^{p}$ , pentru $2 < p < \infty$ , definesc distribuții temperate și au transformate în acest sens generalizat. Transformata lor nu este întotdeauna reprezentabilă printr-o funcție. Extinderea la distribuții nu constituie, așadar, numai o convenție de notație pentru o integrală existentă.^[75]^[26]

Spațiul Schwartz și distribuțiile temperate

O distribuție pe $ℝ^{n}$ este o funcțională liniară continuă definită pe spațiul $C_{c}^{\infty} (ℝ^{n})$ al funcțiilor indefinit derivabile cu suport compact, înzestrat cu topologia corespunzătoare. Deși acest spațiu este dens în $L^{2} (ℝ^{n})$ , el nu este păstrat de transformata Fourier. Transformata unei funcții nenule din $C_{c}^{\infty} (ℝ^{n})$ admite o prelungire la o funcție întreagă pe $ℂ^{n}$ și nu poate avea suport compact. Singura funcție pentru care ambele proprietăți sunt îndeplinite este funcția nulă.^[76]^[77]

Pentru extinderea transformatei Fourier la distribuții se utilizează spațiul Schwartz $𝒮 (ℝ^{n})$ , alcătuit din funcțiile indefinit derivabile care, împreună cu toate derivatele lor, scad la infinit mai repede decât orice putere inversă a normei variabilei. Mai precis, o funcție $f$ aparține acestui spațiu dacă, pentru orice pereche de multiindici $α$ și $β$ , este finită seminorma

p_{α, β} (f) = sup_{𝐱 \in ℝ^{n}} | 𝐱^{α} \partial^{β} f (𝐱) |

.

Spațiul funcțiilor netede cu suport compact este inclus în spațiul Schwartz, $C_{c}^{\infty} (ℝ^{n}) \subset 𝒮 (ℝ^{n})$ . Transformata Fourier este un automorfism liniar continuu al spațiului $𝒮 (ℝ^{n})$ , iar transformata inversă are aceeași proprietate.^[78] Dualul topologic al spațiului Schwartz, notat cu $𝒮^{'} (ℝ^{n})$ , constituie spațiul distribuțiilor temperate. Acesta cuprinde distribuțiile cu suport compact și distribuțiile asociate funcțiilor local integrabile cu creștere cel mult polinomială. De asemenea, funcțiile din spațiile $L^{p} (ℝ^{n})$ , pentru $1 \leq p \leq \infty$ , definesc distribuții temperate. Pentru o funcție integrabilă $f$ , distribuția asociată $T_{f}$ acționează asupra unei funcții-test $φ \in 𝒮 (ℝ^{n})$ prin relația

⟨ T_{f}, φ ⟩ = \int_{ℝ^{n}} f (𝐱) φ (𝐱) d 𝐱

.

Această construcție permite considerarea funcțiilor integrabile ca elemente ale spațiului distribuțiilor temperate.^[26]^[45]

Definirea transformatei Fourier a unei distribuții temperate se bazează pe identitatea

\int_{ℝ^{n}} \hat{f} (𝐱) g (𝐱) d 𝐱 = \int_{ℝ^{n}} f (𝐱) \hat{g} (𝐱) d 𝐱

, valabilă pentru funcții integrabile

f

și

g

.

Pornind de la această relație, transformata Fourier a unei distribuții $T \in 𝒮^{'} (ℝ^{n})$ este definită prin dualitate, potrivit formulei

⟨ ℱ T, φ ⟩ = ⟨ T, ℱ φ ⟩

, pentru orice

φ \in 𝒮 (ℝ^{n})

.

Dualitatea considerată este biliniară, fără conjugarea complexă a funcției-test. Pentru distribuțiile asociate funcțiilor integrabile, această definiție coincide cu transformata Fourier clasică. Transformarea astfel definită este un automorfism liniar continuu al spațiului $𝒮^{'} (ℝ^{n})$ , având drept inversă transformata Fourier inversă extinsă prin dualitate.^[26]^[79]

Transformata Fourier a distribuțiilor păstrează relațiile fundamentale dintre derivare și înmulțirea cu variabila spectrală. Pentru derivata distribuțională în raport cu coordonata $x_{j}$ , se obține

ℱ (\partial_{j} T) = 2 π i ξ_{j} ℱ T

.

Proprietățile referitoare la convoluție se extind, de asemenea, la distribuții, cu condiția ca operațiile respective să fie bine definite. Pentru $T \in 𝒮^{'} (ℝ^{n})$ și $φ \in 𝒮 (ℝ^{n})$ , sunt valabile relațiile

ℱ (T * φ) = (ℱ T) \hat{φ}

și

ℱ (T φ) = (ℱ T) * \hat{φ}

.

Aceste identități exprimă corespondența dintre convoluție și înmulțire în cadrul teoriei distribuțiilor temperate. Totuși, convoluția nu este definită în general pentru orice pereche de distribuții temperate, fiind necesare condiții suplimentare asupra distribuțiilor considerate.^[45]^[80]^[81]

Generalizări

Transformata Fourier–Stieltjes și măsurile

Pentru o măsură Borel complexă finită $μ$ pe $ℝ^{n}$ , transformata Fourier–Stieltjes este definită prin

\hat{μ} (ξ) = \int_{ℝ^{n}} e^{- 2 π i x \cdot ξ} d μ (x)

.

Integrala există pentru orice $ξ \in ℝ^{n}$ , deoarece funcția de sub semnul integralei are modulul egal cu $1$ , iar măsura are variație totală finită. Transformata este mărginită și uniform continuă și satisface $‖ \hat{μ} ‖_{\infty} \leq ‖ μ ‖$ , unde $‖ μ ‖$ reprezintă variația totală a măsurii. Denumirea reflectă legătura dintre integrarea în raport cu o măsură și integrala de tip Stieltjes.^[82]^[83]^[84]

Dacă măsura $μ$ este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue și are densitatea $f \in L^{1} (ℝ^{n})$ , adică $d μ (x) = f (x) d x$ , atunci $\hat{μ} = \hat{f}$ . Definiția se aplică și măsurilor concentrate în puncte. Pentru măsura Dirac $δ_{a}$ , concentrată în punctul $a$ , transformata este $\hat{δ_{a}} (ξ) = e^{- 2 π i a \cdot ξ}$ . În cazul $a = 0$ , se obține $\hat{δ_{0}} = 1$ . Concluzia lemei Riemann–Lebesgue nu este valabilă pentru toate măsurile finite, deoarece transformatele acestora nu tind neapărat la zero la infinit.^[85]^[86]

În teoria probabilităților, funcția caracteristică a unei variabile aleatoare $X$ cu valori în $ℝ^{n}$ se definește prin

φ_{X} (u) = 𝔼 (e^{i u \cdot X}) = \int_{ℝ^{n}} e^{i u \cdot x} d μ_{X} (x) = \hat{μ_{X}} (- \frac{u}{2 π})

, unde

μ_{X}

este legea de probabilitate a lui

X

.

Această reprezentare nu presupune existența unei densități în raport cu măsura Lebesgue și se aplică inclusiv legilor discrete sau mixte. Dacă legea admite o densitate, funcția caracteristică se exprimă prin transformata Fourier a acesteia, cu schimbarea de semn și de scară indicată în formulă.^[87]^[88]

Teorema lui Bochner caracterizează transformatele Fourier–Stieltjes ale măsurilor pozitive finite. O funcție continuă pe $ℝ^{n}$ este transformata unei asemenea măsuri dacă și numai dacă este pozitiv definită. Condiția suplimentară $φ (0) = 1$ corespunde unei măsuri de probabilitate. Teorema are și o formulare pentru grupurile abeliene local compacte, în care măsura este definită pe grupul dual.^[89]^[90]

Grupuri abeliene local compacte

Pe un grup topologic abelian local compact și Hausdorff $G$ , transformata Fourier se definește folosind o măsură Haar $μ$ . Aceasta este invariantă la translații și este determinată până la înmulțirea cu o constantă pozitivă. Un caracter al grupului $G$ este un morfism continuu de grupuri $χ : G \to 𝕋$ , unde $𝕋 = {z \in ℂ ∣ | z | = 1}$ . Mulțimea caracterelor, înzestrată cu înmulțirea punctuală și cu topologia convergenței uniforme pe mulțimi compacte, formează un grup abelian local compact.^[89]^[75]

Pentru $f \in L^{1} (G, μ)$ , transformata Fourier este definită prin

\hat{f} (χ) = \int_{G} f (x) \overline{χ (x)} d μ (x)

, pentru orice

χ \in \hat{G}

.

Transformata aparține spațiului $C_{0} (\hat{G})$ al funcțiilor continue care tind la zero la infinit. Acest rezultat reprezintă forma lemei Riemann–Lebesgue pentru grupuri abeliene local compacte. În cazul $G = ℝ^{n}$ , caracterele sunt $χ_{ξ} (x) = e^{2 π i x \cdot ξ}$ , iar definiția coincide cu cea folosită în articol. Formulele de inversiune și Plancherel necesită alegerea unei măsuri Haar pe $\hat{G}$ compatibile cu măsura fixată pe $G$ .^[89]^[91]

Pentru grupul cercului $𝕋 ≃ ℝ / ℤ$ , caracterele sunt funcțiile $e_{k} (x) = e^{2 π i k x}$ , cu $k \in ℤ$ . Măsura Haar normalizată corespunde integrării pe $[0, 1)$ , iar transformata Fourier este șirul coeficienților

\hat{f} (k) = \int_{0}^{1} f (x) e^{- 2 π i k x} d x

.

Funcțiile $e_{k}$ formează o bază ortonormată a spațiului $L^{2} (𝕋)$ . Pentru $f \in L^{2} (𝕋)$ , dezvoltarea

f = \sum_{k \in ℤ} \hat{f} (k) e_{k}

converge în norma

L^{2}

.

Grupul dual al cercului este grupul discret $ℤ$ , iar dualul lui $ℤ$ este cercul. Pentru un grup ciclic finit, aceeași construcție conduce la transformata Fourier discretă. Seriile Fourier, transformata Fourier a șirurilor și transformata Fourier discretă se încadrează astfel într-o definiție comună.^[89]^[75]

Descrierea prin caractere face legătura cu teoria reprezentărilor. Pentru un grup finit $G$ , caracterele reprezentărilor ireductibile formează o bază ortonormată a spațiului funcțiilor constante pe clasele de conjugare, în raport cu produsul scalar

⟨ α, β ⟩ = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} α (g) \overline{β (g)}

.

Caracterul unei reprezentări de dimensiune finită este o combinație liniară a caracterelor ireductibile, iar coeficienții sunt multiplicitățile reprezentărilor corespunzătoare. Pentru un grup abelian, fiecare clasă de conjugare conține un singur element, iar reprezentările ireductibile sunt unidimensionale. În cazul cercului, descompunerea după caractere ia forma unei serii Fourier, cu convergență în norma spațiului Hilbert, în locul unei sume finite.^[92]^[93]

Transformata Gelfand

Pentru un grup abelian local compact $G$ , spațiul $L^{1} (G)$ , înzestrat cu produsul de convoluție, este o algebră Banach comutativă. Involuția este definită prin $f^{*} (x) = \overline{f (x^{- 1})}$ , grupul fiind unimodular. Prin completarea în norma universală de tip $C^{*}$ se obține algebra $C^{*} (G)$ . Această normă este definită cu ajutorul reprezentărilor unitare și, pe $L^{1} (G)$ , este mărginită superior de norma $L^{1}$ .^[89]

Pentru o algebră $C^{*}$ comutativă $A$ , spectrul Gelfand $Δ (A)$ este spațiul funcționalelor liniare multiplicative nenule, înzestrat cu topologia slabă-*. Transformata Gelfand asociază fiecărui element $a \in A$ funcția definită pe spectru prin

Γ (a) (φ) = φ (a)

, pentru

φ \in Δ (A)

.

Această transformare este un izomorfism izometric de algebre cu involuție între $A$ și $C_{0} (Δ (A))$ . Dacă algebra are unitate, spectrul este compact, iar algebra funcțiilor corespunzătoare este $C (Δ (A))$ .^[94]

În cazul $A = C^{*} (G)$ , spectrul Gelfand se identifică cu grupul dual $\hat{G}$ . Restricția transformatei Gelfand la subalgebra densă $L^{1} (G)$ coincide cu transformata Fourier, dacă identificarea caracterelor respectă conjugarea complexă din definiția acesteia.^[89]

Grupuri compacte neabeliene

Transformata Fourier se poate extinde și la grupuri topologice compacte Hausdorff care nu sunt abeliene. Reprezentările unitare ireductibile pot avea în acest caz dimensiune mai mare decât $1$ . Valorile transformatei sunt operatori, care pot fi reprezentați prin matrice, în locul valorilor scalare din cazul abelian. Această extindere aparține teoriei reprezentărilor și analizei armonice necomutative.^[95]^[93]

Fie $λ$ măsura Haar normalizată a grupului compact $G$ . Pentru fiecare clasă de echivalență $σ$ a reprezentărilor unitare ireductibile se alege o reprezentare $U^{(σ)}$ pe un spațiu Hilbert $H_{σ}$ de dimensiune finită $d_{σ}$ . Transformata unei funcții $f \in L^{1} (G)$ este definită prin

\hat{f} (σ) = \int_{G} f (g) U_{g^{- 1}}^{(σ)} d λ (g)

.

Caracterul unitar al reprezentării implică relația $U_{g^{- 1}}^{(σ)} = (U_{g}^{(σ)})^{*}$ . Integrala poate fi definită prin coeficienții matriceali. Pentru $ξ, η \in H_{σ}$ , se are

⟨ \hat{f} (σ) ξ, η ⟩ = \int_{G} f (g) ⟨ U_{g^{- 1}}^{(σ)} ξ, η ⟩ d λ (g)

.

Produsul scalar este considerat liniar în prima variabilă.^[95]

Pentru o măsură Borel complexă finită $μ$ pe $G$ , definiția corespunzătoare este

\hat{μ} (σ) = \int_{G} U_{g^{- 1}}^{(σ)} d μ (g)

, iar transformata satisface

sup_{σ} ‖ \hat{μ} (σ) ‖ \leq ‖ μ ‖

.

Dacă $d μ = f d λ$ , se obține transformata funcției $f$ . Coeficienții matriceali determină în mod unic măsura, ceea ce asigură injectivitatea aplicației $μ \mapsto \hat{μ}$ .^[95]

Ordinea factorilor în formula convoluției depinde de convenția aleasă pentru transformare. Dacă

(f * g) (x) = \int_{G} f (y) g (y^{- 1} x) d λ (y)

, atunci definiția cu

U_{g^{- 1}}^{(σ)}

conduce la relația

\hat{f * g} (σ) = \hat{g} (σ) \hat{f} (σ)

.

Aceeași inversare a ordinii este valabilă pentru convoluția măsurilor finite. Dacă transformata este definită folosind $U_{g}^{(σ)}$ în locul lui $U_{g^{- 1}}^{(σ)}$ , ordinea factorilor se păstrează. Involuția funcțiilor este dată de $f^{*} (g) = \overline{f (g^{- 1})}$ , deoarece grupurile compacte sunt unimodulare.^[95]

Teorema Peter–Weyl stabilește completitudinea coeficienților matriceali ai reprezentărilor ireductibile. Pentru $f \in L^{2} (G)$ , formula de inversiune este

f (g) = \sum_{σ} d_{σ} tr (\hat{f} (σ) U_{g}^{(σ)})

, unde suma converge în norma

L^{2}

, iar egalitatea este înțeleasă în acest spațiu.

Identitatea Plancherel corespunzătoare are forma

‖ f ‖_{2}^{2} = \sum_{σ} d_{σ} ‖ \hat{f} (σ) ‖_{H S}^{2}

, unde

‖ \cdot ‖_{H S}

desemnează norma Hilbert–Schmidt.

Pentru un grup abelian, toate dimensiunile $d_{σ}$ sunt egale cu $1$ , iar relațiile se reduc la formulele scalare.^[95]^[93] Dualitatea Tannaka–Krein oferă o altă descriere a grupurilor compacte neabeliene, folosind întreaga categorie a reprezentărilor acestora, nu doar caracterele scalare.^[96]

Aplicații

Transformata Fourier permite exprimarea anumitor operații efectuate asupra funcțiilor în domeniul timpului sau în cel spațial prin operații mai simple în domeniul frecvențelor. În convenția cu nucleul $e^{- 2 π i ξ x}$ , derivarea în raport cu $x$ corespunde înmulțirii transformatei cu $2 π i ξ$ , în condițiile de regularitate necesare. Această proprietate permite reducerea unor ecuații diferențiale cu coeficienți constanți la ecuații algebrice sau, în cazul ecuațiilor cu derivate parțiale, la ecuații diferențiale cu mai puține variabile. O altă proprietate fundamentală este corespondența dintre convoluția funcțiilor și înmulțirea transformatelor lor Fourier. După rezolvarea problemei în domeniul frecvențelor, aplicarea transformatei inverse permite determinarea soluției în variabilele inițiale. Aceste proprietăți sunt studiate în cadrul analizei armonice și stau la baza numeroaselor aplicații ale transformatei Fourier în matematică, fizică și prelucrarea semnalelor.

Ecuații cu derivate parțiale

Una dintre aplicațiile importante ale transformatei Fourier este rezolvarea ecuațiilor cu derivate parțiale, în special a celor cu coeficienți constanți. Metoda permite transformarea derivatelor în raport cu anumite variabile în expresii algebrice, reducând astfel complexitatea ecuației inițiale. Numeroase ecuații fundamentale ale fizicii matematice, studiate încă din secolul al XIX-lea, pot fi abordate prin această metodă.

Un exemplu îl constituie ecuația propagării căldurii în cazul unidimensional, scrisă în variabile adimensionale sub forma

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

.

Aplicarea transformatei Fourier în raport cu variabila spațială $x$ , păstrând timpul $t$ ca parametru, conduce la ecuația diferențială ordinară

\frac{\partial \hat{u}}{\partial t} (ξ, t) = - 4 π^{2} ξ^{2} \hat{u} (ξ, t)

.

Pentru condiția inițială $u (x, 0) = f (x)$ , soluția în domeniul frecvențelor este

\hat{u} (ξ, t) = e^{- 4 π^{2} ξ^{2} t} \hat{f} (ξ)

, unde

t > 0

.

Aplicarea transformatei Fourier inverse permite exprimarea soluției ca o convoluție între funcția inițială $f$ și nucleul căldurii.^[97]

Problema Cauchy pentru ecuația undelor

Pentru ecuația undelor unidimensională, cu viteza de propagare egală cu unitatea,

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

, unde

x, t \in ℝ

, problema Cauchy constă în determinarea unei soluții care satisface condițiile inițiale

u (x, 0) = f (x), \frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) = g (x)

.

Funcțiile $f$ și $g$ reprezintă deplasarea inițială, respectiv viteza inițială. Spre deosebire de ecuația propagării căldurii, care este de ordinul întâi în raport cu timpul și necesită o singură condiție inițială, ecuația undelor este de ordinul al doilea în raport cu această variabilă. Cunoașterea deplasării inițiale nu este suficientă pentru determinarea soluției, fiind necesară și precizarea vitezei inițiale. Dacă datele inițiale îndeplinesc condițiile de regularitate corespunzătoare, cele două funcții determină în mod unic soluția clasică.^[97]^[98]

Rezolvarea prin transformata Fourier poate fi realizată mai întâi pentru $f, g \in 𝒮 (ℝ)$ , unde $𝒮 (ℝ)$ este spațiul Schwartz. Se notează cu

v (ξ, t) = \hat{u (\cdot, t)} (ξ)

, transformata Fourier a funcției

u

în raport cu variabila spațială

x

.

Proprietatea transformatei Fourier privind derivarea conduce, pentru fiecare $ξ \in ℝ$ , la ecuația diferențială ordinară

\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} + (2 π ξ)^{2} v = 0

, însoțită de condițiile inițiale

v (ξ, 0) = \hat{f} (ξ)

și

\frac{\partial v}{\partial t} (ξ, 0) = \hat{g} (ξ)

.

Soluția acestei probleme este

v (ξ, t) = \hat{f} (ξ) \cos (2 π ξ t) + \hat{g} (ξ) \frac{\sin (2 π ξ t)}{2 π ξ}

.

Pentru $ξ = 0$ , raportul $\frac{\sin (2 π ξ t)}{2 π ξ}$ se prelungește prin continuitate, valoarea sa fiind $t$ . În acest punct, soluția ia forma $v (0, t) = \hat{f} (0) + t \hat{g} (0)$ .

Pentru fiecare valoare fixată a timpului $t$ , funcția $v (\cdot, t)$ aparține spațiului Schwartz. Se justifică astfel aplicarea transformatei Fourier inverse și derivarea sub semnul integralei, obținându-se reprezentarea

u (x, t) = \int_{- \infty}^{\infty} [\hat{f} (ξ) \cos (2 π ξ t) + \hat{g} (ξ) \frac{\sin (2 π ξ t)}{2 π ξ}] e^{2 π i ξ x} d ξ

.

Transformarea Fourier reduce astfel ecuația cu derivate parțiale la o familie de ecuații diferențiale ordinare de tipul oscilatorului armonic, parametrizate prin frecvența $ξ$ . Soluția problemei inițiale se reconstituie prin transformarea inversă, care reunește contribuțiile tuturor frecvențelor.^[98]

Reprezentarea obținută poate fi exprimată direct prin funcțiile inițiale $f$ și $g$ . Aplicarea transformatei inverse primului termen conduce la relația

ℱ^{- 1} [\hat{f} (ξ) \cos (2 π ξ t)] (x) = \frac{f (x + t) + f (x - t)}{2}

.

Pentru $t \geq 0$ , se consideră funcția

K_{t} (x) = \frac{1}{2} 𝟏_{[- t, t]} (x)

, unde

𝟏_{[- t, t]}

este funcția caracteristică a intervalului

[- t, t]

. Transformata sa Fourier este

{\hat{K}}_{t} (ξ) = \frac{\sin (2 π ξ t)}{2 π ξ}

, cu valoarea

t

în punctul

ξ = 0

, obținută prin continuitate.

Potrivit teoremei convoluției, transformata inversă a celui de-al doilea termen este:

(g * K_{t}) (x) = \frac{1}{2} \int_{x - t}^{x + t} g (s) d s

.

Prin reunirea celor două expresii se obține formula lui d'Alembert

u (x, t) = \frac{f (x + t) + f (x - t)}{2} + \frac{1}{2} \int_{x - t}^{x + t} g (s) d s

.

Pentru $t < 0$ , formula rămâne valabilă dacă integrala este considerată orientată, cu limitele de integrare în ordinea indicată. Prin derivare se verifică faptul că funcția astfel definită satisface atât ecuația undelor, cât și cele două condiții inițiale. Formula lui d'Alembert este valabilă și pentru date inițiale $f \in C^{2} (ℝ)$ și $g \in C^{1} (ℝ)$ , caz în care determină unica soluție clasică a problemei Cauchy. Această generalizare nu necesită existența transformatelor Fourier ale datelor inițiale ca integrale absolut convergente, deoarece expresia soluției poate fi definită și verificată direct.^[97]^[98]

Suprapunerea undelor elementare

Soluția ecuației undelor poate fi reprezentată prin suprapunerea unor unde elementare. Funcțiile $\cos (2 π ξ (x \pm t))$ și $\sin (2 π ξ (x \pm t))$ satisfac fiecare ecuația undelor, semnele corespunzând celor două sensuri de propagare. În condițiile care justifică convergența integralelor și derivarea sub semnul integralei, o suprapunere continuă a acestor funcții constituie, la rândul ei, o soluție

\begin{matrix} u (x, t) = \int_{0}^{\infty} [ & a_{+} (ξ) \cos (2 π ξ (x + t)) + a_{-} (ξ) \cos (2 π ξ (x - t)) \\ + b_{+} (ξ) \sin (2 π ξ (x + t)) + b_{-} (ξ) \sin (2 π ξ (x - t))] d ξ \end{matrix}

.

Pentru date inițiale reale, coeficienții acestei reprezentări pot fi determinați cu ajutorul transformatelor în cosinus și sinus. Dacă, pentru o funcție $h$ , se definesc

A_{h} (ξ) = 2 \int_{- \infty}^{\infty} h (x) \cos (2 π ξ x) d x, B_{h} (ξ) = 2 \int_{- \infty}^{\infty} h (x) \sin (2 π ξ x) d x

, cele două condiții inițiale ale problemei Cauchy duc la sistemul

\begin{matrix} a_{+} + a_{-} & = A_{f}, & b_{+} + b_{-} & = B_{f}, \\ 2 π ξ (- a_{+} + a_{-}) & = B_{g}, & 2 π ξ (b_{+} - b_{-}) & = A_{g} \end{matrix}

.

Pentru fiecare $ξ \neq 0$ , sistemul conține patru ecuații liniare care determină coeficienții $a_{+}$ , $a_{-}$ , $b_{+}$ și $b_{-}$ . Datele inițiale și soluția sunt astfel exprimate prin aceeași familie de unde elementare, iar transformata Fourier inversă permite reconstituirea funcției $u$ din amplitudinile componentelor sale.

Această descompunere admite și o reprezentare cu exponențiale complexe. Pentru $ξ \neq 0$ , soluția transformată poate fi scrisă sub forma

v (ξ, t) = s_{+} (ξ) e^{2 π i ξ t} + s_{-} (ξ) e^{- 2 π i ξ t}

, unde coeficienții sunt

s_{\pm} (ξ) = \frac{1}{2} [\hat{f} (ξ) \pm \frac{\hat{g} (ξ)}{2 π i ξ}]

.

Chiar dacă datele inițiale aparțin spațiului Schwartz, amplitudinile $s_{+}$ și $s_{-}$ pot prezenta separat o singularitate de ordinul $\frac{1}{| ξ |}$ în vecinătatea originii. Din acest motiv, ele nu aparțin în mod necesar spațiilor $L^{1} (ℝ)$ sau $L^{2} (ℝ)$ . Reprezentarea soluției prin sinus și cosinus evită această dificultate, deoarece raportul $\frac{\sin (2 π ξ t)}{2 π ξ}$ admite o prelungire continuă în $ξ = 0$ , cu valoarea $t$ . Frecvența nulă este astfel inclusă fără introducerea unei singularități în expresia soluției.

O interpretare suplimentară se obține prin aplicarea transformatei Fourier atât în variabila spațială $x$ , cât și în variabila temporală $t$ . Pentru date inițiale din spațiul Schwartz, formula lui d'Alembert definește o funcție mărginită pe $ℝ^{2}$ , care poate fi considerată o distribuție temperată. Dacă $\tilde{u} (ξ, ν)$ reprezintă transformata Fourier a acestei distribuții în ambele variabile, ecuația undelor conduce la relația

(ξ^{2} - ν^{2}) \tilde{u} (ξ, ν) = 0

.

Această egalitate implică faptul că suportul distribuției $\tilde{u}$ este inclus în reuniunea dreptelor $ν = ξ$ și $ν = - ξ$ din planul frecvențelor. Cele două drepte corespund familiilor de unde care se propagă în sensuri opuse, iar contribuțiile lor pot fi reprezentate prin distribuții Dirac concentrate pe aceste drepte. Condiția privind suportul este necesară, dar nu este suficientă, în general, pentru satisfacerea ecuației distribuționale de mai sus. Relațiile trebuie interpretate prin dualitatea cu funcțiile-test din spațiul Schwartz, deoarece exponențialele complexe utilizate în reprezentarea undelor nu aparțin ele însele acestui spațiu.^[99] Din punct de vedere al calculului, metoda transformatei Fourier presupune transformarea datelor inițiale, rezolvarea ecuațiilor obținute în domeniul frecvențelor și aplicarea transformatei inverse.

Transformata Fourier neliniară

Metodele bazate pe transformata Fourier au fost extinse, în cursul secolului al XX-lea, de la ecuațiile liniare la anumite clase de ecuații diferențiale neliniare integrabile. În cazul ecuațiilor liniare cu coeficienți polinomiali, proprietățile transformatei Fourier permit înlocuirea derivării și a înmulțirii cu variabila prin operații corespunzătoare în domeniul frecvențelor. Ecuația obținută poate conține în continuare derivate, astfel încât aplicarea transformatei nu conduce întotdeauna la o ecuație algebrică. Pentru anumite ecuații neliniare de evoluție, rezolvarea poate fi raportată la o problemă spectrală liniară, ale cărei valori proprii se păstrează în timpul evoluției. Această proprietate este exprimată prin formularea lui Peter Lax, în care evoluția neliniară este asociată unei familii de operatori cu același spectru.^[100]^[101]

Procedeul presupune determinarea datelor spectrale corespunzătoare condiției inițiale, calcularea evoluției acestora și reconstituirea soluției prin rezolvarea problemei spectrale inverse. Această metodă, denumită metoda transformatei inverse de împrăștiere, stă la baza unor transformări cunoscute sub numele de transformate Fourier neliniare. Spre deosebire de transformata Fourier clasică, acestea nu constituie o transformare liniară aplicabilă oricărei ecuații neliniare, ci sunt definite în raport cu structura spectrală a anumitor sisteme integrabile. În telecomunicațiile optice, metodele respective sunt utilizate pentru analiza unor modele de propagare descrise de ecuația Schrödinger neliniară și pentru dezvoltarea unor tehnici de transmitere a informației prin reprezentarea spectrală neliniară a semnalelor.^[102]

Spectroscopie prin transformare Fourier

În rezonanța magnetică nucleară, transformata Fourier permite obținerea spectrului din semnalul înregistrat după excitarea probei printr-un impuls de radiofrecvență. Acest semnal, numit semnal de inducție liberă, conține contribuții oscilante ale căror amplitudini scad în timp. Transformarea lor separă componentele de frecvență și permite identificarea liniilor de rezonanță. Pentru o componentă cu descreștere exponențială, profilul de absorbție este lorentzian, după corectarea corespunzătoare a fazei. Un timp de descreștere mai scurt corespunde unei linii spectrale mai largi.^[103] În spectroscopia în infraroșu prin transformare Fourier, informația spectrală este obținută dintr-o interferogramă, care descrie variația semnalului detectat în funcție de diferența de drum optic dintre brațele interferometrului. Variabila transformată este aici diferența de drum optic, nu timpul de evoluție a probei.^[104] Spectrul de transmitanță se obține prin raportarea spectrului măsurat cu proba la un spectru de referință, iar din acesta se calculează absorbanta. Benzile de absorbție oferă informații despre vibrațiile moleculare.^[105]

Transformata Fourier este utilizată și în anumite metode de spectrometrie de masă, între care spectrometria prin rezonanță ciclotronică ionică cu transformare Fourier, abreviată FT-ICR. Mișcarea coerentă a ionilor într-un câmp magnetic induce un semnal electric în electrozii de detecție. Transformata Fourier separă frecvențele acestui semnal, iar acestea sunt convertite, prin relațiile de calibrare ale instrumentului, în valori ale raportului masă–sarcină.^[106] O aplicație înrudită este reconstrucția imaginilor în imagistica prin rezonanță magnetică. Gradienții câmpului magnetic introduc o dependență a frecvenței și a fazei semnalului de poziția spațială. Transformata Fourier inversă permite folosirea acestei informații pentru reconstruirea imaginii. În acest caz, scopul principal este localizarea spațială a surselor semnalului, nu separarea componentelor după mediul lor chimic.^[107]

Mecanică cuantică

În mecanica cuantică, transformata Fourier face legătura dintre reprezentarea unei stări în spațiul pozițiilor și reprezentarea sa în spațiul impulsurilor. Pentru o particulă care se deplasează într-o singură dimensiune, fără a considera gradele de libertate asociate spinului, o stare pură poate fi descrisă prin funcția de undă $ψ (q)$ în reprezentarea poziției sau prin funcția $φ (p)$ în reprezentarea impulsului. Cele două funcții descriu aceeași stare, dar exprimă diferit informațiile despre rezultatele măsurării poziției și impulsului.^[108]

Notând cu $ℏ = \frac{h}{2 π}$ constanta Planck redusă, trecerea în reprezentarea impulsului este dată de

φ (p) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} ψ (q) e^{- \frac{i p q}{ℏ}} d q

, iar revenirea în reprezentarea poziției se face prin transformata inversă

ψ (q) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{\infty} φ (p) e^{\frac{i p q}{ℏ}} d p

.

Produsul $p q$ are dimensiunea unei acțiuni, la fel ca $ℏ$ , iar raportul $\frac{p q}{ℏ}$ este adimensional. Aceste formule corespund convenției Fourier cu nucleul $e^{- 2 π i q ξ}$ prin relația $p = 2 π ℏ ξ$ . Schimbarea variabilei spectrale este însoțită de factorul de normalizare care asigură caracterul unitar al transformării.^[109]

Pentru o stare normalizată, transformarea păstrează norma și se obține

\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (q) |^{2} d q = \int_{- \infty}^{\infty} | φ (p) |^{2} d p = 1

.

Funcțiile $| ψ (q) |^{2}$ și $| φ (p) |^{2}$ sunt densitățile de probabilitate pentru poziție, respectiv impuls. Pentru funcții de undă din $L^{2} (ℝ)$ , transformarea este înțeleasă prin prelungirea unitară la acest spațiu, chiar dacă integralele nu converg absolut.^[110]^[111]

Poziția și impulsul sunt observabile canonic conjugate. Legătura Fourier dintre cele două reprezentări conduce la relația de incertitudine

Δ q Δ p \geq \frac{ℏ}{2}

, unde

Δ q

și

Δ p

sunt abaterile standard ale distribuțiilor de probabilitate corespunzătoare, presupuse finite.

Relația limitează precizia cu care poziția și impulsul pot fi determinate simultan într-o aceeași stare.^[112] Pentru o particulă nerelativistă de masă $m$ , aflată într-un potențial real $V (q)$ independent de timp, ecuația lui Schrödinger unidimensională este

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial q^{2}} + V (q) ψ

.

În cazul particulei libere, pentru care $V = 0$ , aplicarea transformatei Fourier în variabila spațială conduce la

i ℏ \frac{\partial φ}{\partial t} (p, t) = \frac{p^{2}}{2 m} φ (p, t)

.

Pentru fiecare valoare a impulsului $p$ , aceasta este o ecuație diferențială ordinară în raport cu timpul. Soluția care corespunde stării inițiale $φ (p, 0)$ este

φ (p, t) = e^{- \frac{i p^{2} t}{2 m ℏ}} φ (p, 0)

.

Transformata inversă determină funcția de undă $ψ (q, t)$ . Factorul exponențial are modulul egal cu $1$ și modifică numai faza fiecărei componente de impuls. Evoluția liberă păstrează astfel densitatea de probabilitate în spațiul impulsurilor și norma stării.^[113]

Pentru un potențial care depinde de poziție, termenul $V (q) ψ (q, t)$ introduce, în general, o legătură între componentele de impuls, iar ecuațiile acestora nu mai pot fi rezolvate separat. Dacă potențialul este independent de timp, stările staționare au forma $ψ (q, t) = e^{- \frac{i E t}{ℏ}} ψ_{E} (q)$ , unde $ψ_{E}$ satisface ecuația de valori proprii $\hat{H} ψ_{E} = E ψ_{E}$ pentru operatorul hamiltonian. Dezvoltarea spectrală a stării inițiale permite studierea evoluției sale, ținând seama de eventualele componente discrete și continue ale spectrului energetic.^[114]^[115]

În teoria cuantică a câmpurilor, transformata Fourier permite descompunerea unui câmp liber în moduri care evoluează independent. Pentru un câmp scalar $Φ$ , într-o singură dimensiune spațială și cu variabile adimensionale alese astfel încât termenul de masă să aibă coeficientul egal cu $1$ , ecuația Klein–Gordon se scrie

(\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + 1) Φ (x, t) = 0

.

Aplicând transformata Fourier numai în variabila $x$ , cu nucleul $e^{- 2 π i x ξ}$ , se obține

\frac{\partial^{2} \hat{Φ}}{\partial t^{2}} (ξ, t) + [1 + (2 π ξ)^{2}] \hat{Φ} (ξ, t) = 0

.

Fiecare mod Fourier satisface o ecuație de oscilator armonic cu pulsația $ω_{ξ} = \sqrt{1 + (2 π ξ)^{2}}$ , exprimată în variabilele adimensionale considerate. Cuantizarea acestor moduri permite descrierea câmpului liber prin operatori de creare și anihilare. În prezența interacțiunilor, modurile sunt, în general, cuplate și nu mai evoluează independent.^[116]

Legătura cu oscilatorul armonic apare și în proprietățile transformatei Fourier ca operator. După alegerea unor variabile adimensionale și a normalizării corespunzătoare, transformata poate fi exprimată printr-un operator unitar generat de operatorul numărului de excitații. Funcțiile Hermite sunt funcții proprii comune celor doi operatori, iar formula lui Mehler permite exprimarea nucleului integral al familiei de transformări asociate.^[117]

Prelucrarea semnalelor

Transformata Fourier are un rol important în prelucrarea semnalelor, fiind utilizată pentru analiza spectrală a semnalelor și a seriilor temporale. În cazul semnalelor de energie finită, distribuția energiei în domeniul frecvențelor poate fi determinată direct din transformata Fourier. Pentru semnalele persistente, care pot avea energie totală infinită, dar putere medie finită, transformata definită printr-o integrală pe întreaga axă reală nu există întotdeauna în sens clasic. Analiza spectrală se poate realiza atunci prin intermediul autocorelației, care descrie dependența dintre valorile unui semnal corespunzătoare unor momente diferite.

Pentru un semnal complex $f \in L^{1} (ℝ) \cap L^{2} (ℝ)$ , funcția de autocorelație de energie este definită prin

R_{f}^{(E)} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} \overline{f (t)} f (t + τ) d t

.

Variabila $τ$ reprezintă decalajul temporal dintre valorile comparate, iar conjugarea complexă permite extinderea definiției la semnale cu valori complexe. Din proprietățile convoluției și ale conjugării rezultă relația

ℱ [R_{f}^{(E)}] (ξ) = | \hat{f} (ξ) |^{2}

.

Aceasta exprimă faptul că transformata Fourier a autocorelației de energie este egală cu pătratul modulului transformatei semnalului, care reprezintă densitatea sa spectrală de energie. Pentru semnalele reale, conjugarea complexă nu modifică expresia autocorelației.^[118]

În cazul unui semnal persistent, autocorelația poate fi definită prin mediere temporală, dacă limita corespunzătoare există

R_{f} (τ) = lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} \overline{f (t)} f (t + τ) d t

.

Factorul $\frac{1}{2 T}$ reprezintă inversul duratei intervalului de observație. Spre deosebire de autocorelația de energie, această definiție se bazează pe puterea medie a semnalului și este potrivită pentru analiza semnalelor persistente cu putere finită. Valoarea $R_{f} (0)$ corespunde puterii medii, atunci când limita există.

Pentru un proces aleatoriu complex $X (t)$ , staționar în sens larg și cu moment de ordinul al doilea finit, autocorelația se definește prin media statistică

R_{X} (τ) = 𝔼 [\overline{X (t)} X (t + τ)]

.

Staționaritatea în sens larg implică independența acestei funcții față de momentul inițial $t$ , astfel încât autocorelația depinde numai de decalajul temporal $τ$ . Dacă procesul are media constantă $m = 𝔼 [X (t)]$ , funcția de autocovarianță este

C_{X} (τ) = 𝔼 [\overline{X (t) - m} (X (t + τ) - m)] = R_{X} (τ) - | m |^{2}

.

Pentru un proces centrat, caracterizat prin $m = 0$ , autocorelația coincide cu autocovarianța. Centrarea procesului, realizată prin scăderea mediei, trebuie deosebită de normalizarea autocorelației prin valoarea sa la origine, atunci când aceasta este nenulă. De asemenea, egalitatea dintre media temporală și media statistică nu rezultă numai din staționaritate, fiind necesare condiții suplimentare de ergodicitate.^[119]

Funcția de autocorelație a unui proces staționar în sens larg satisface proprietatea de simetrie hermitiană și inegalitatea

R_{X} (- τ) = \overline{R_{X} (τ)}, | R_{X} (τ) | \leq R_{X} (0)

.

Pentru un proces real, autocorelația este o funcție pară și are valoarea maximă în origine. Dacă procesul este continuu în medie pătratică, autocorelația este continuă și, datorită caracterului său pozitiv definit, este uniform continuă. Aceste proprietăți permit studierea dependențelor temporale și a fenomenelor periodice. De exemplu, în analiza unui șir de măsurători ale temperaturii, valorile autocorelației pentru decalaje apropiate de 24 de ore pot evidenția existența unui ciclu zilnic.

Pentru un proces staționar în sens larg care este continuu în medie pătratică, teorema lui Bochner asigură existența unei măsuri Borel pozitive finite $μ_{X}$ , numită măsură spectrală, astfel încât autocorelația permite reprezentarea

R_{X} (τ) = \int_{ℝ} e^{2 π i ξ τ} d μ_{X} (ξ)

.

Masa totală a acestei măsuri este $μ_{X} (ℝ) = R_{X} (0)$ , adică puterea medie a procesului. Reprezentarea spectrală permite descrierea distribuției puterii între diferitele frecvențe, inclusiv în situațiile în care spectrul nu poate fi exprimat printr-o funcție de densitate.^[120]

Dacă autocorelația aparține și spațiului $L^{1} (ℝ)$ , măsura spectrală este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue și admite densitatea

P_{X} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} R_{X} (τ) e^{- 2 π i ξ τ} d τ

, astfel încât

d μ_{X} (ξ) = P_{X} (ξ) d ξ

.

Funcția $P_{X}$ este continuă și nenegativă și se numește densitate spectrală de putere. Relația dintre funcția de autocorelație și spectrul de putere este exprimată de teorema Wiener–Hincin. Această corespondență rămâne valabilă în formularea generală prin măsuri spectrale, fără a impune existența unei densități.^[121]

Componentele periodice ale unui proces pot determina apariția unor linii spectrale, reprezentate prin mase punctuale ale măsurii spectrale. Dacă procesul are o medie nenulă $m$ , spectrul său conține, în plus față de cel al procesului centrat, o masă spectrală $| m |^{2}$ concentrată la frecvența zero. Spectrul procesului centrat descrie repartizarea varianței între frecvențe, în timp ce spectrul obținut din autocorelația procesului necentrat include și contribuția mediei.^[122] În aplicațiile fizice și tehnice, densitatea spectrală de putere caracterizează contribuția diferitelor benzi de frecvență la puterea medie a semnalului.

Metode de calcul

Metoda de calcul depinde de reprezentarea datelor de intrare și de forma rezultatului cerut. O funcție de variabilă continuă poate fi dată printr-o expresie analitică, în timp ce un semnal măsurat este adesea cunoscut numai prin perechi de valori $(x_{j}, f_{j})$ . O transformare poate fi urmărită ca funcție de frecvență pe un întreg interval sau numai la un număr finit de frecvențe. Trecerea de la integrală la o sumă trebuie să țină seama dacă datele descriu o măsură discretă, o secvență sau eșantioane folosite pentru aproximarea unei funcții continue.

Transformata Fourier discretă și algoritmii rapizi

Pentru un șir $(a_{n})_{n \in ℤ}$ de valori corespunzătoare unor momente echidistante $n Δ$ , unde $Δ > 0$ este intervalul de eșantionare, transformata Fourier în timp discret este definită, în condițiile de convergență corespunzătoare, prin

A (ξ) = \sum_{n \in ℤ} a_{n} e^{- 2 π i ξ n Δ}

.

Deși semnalul este discret în timp, variabila de frecvență $ξ$ rămâne continuă, iar transformata este periodică, având perioada $\frac{1}{Δ}$ . Dacă șirul conține un număr finit de termeni nenuli, transformata sa este un polinom trigonometric.

Evaluarea transformatei unui șir finit în puncte echidistante din domeniul frecvențelor conduce la transformata Fourier discretă (TFD). Pentru un șir format din $N$ valori, aceasta este definită prin

A_{k} = \sum_{n = 0}^{N - 1} a_{n} e^{- \frac{2 π i k n}{N}}

, unde

k = 0, 1, \dots, N - 1

.

Valorile $A_{k}$ corespund frecvențelor $ξ_{k} = \frac{k}{N Δ}$ , considerate modulo perioada spectrală $\frac{1}{Δ}$ . Transformata Fourier discretă asociază astfel unui șir finit un alt șir finit, ale cărui elemente descriu componentele sale spectrale.

Calculul direct al celor $N$ coeficienți necesită un număr de operații de ordinul $N^{2}$ . Algoritmii de transformată Fourier rapidă valorifică structura sumei pentru a reduce volumul calculelor, în numeroase implementări, la un ordin de complexitate $N \log N$ . Acești algoritmi calculează aceeași transformată discretă, diferențele față de rezultatul matematic exact provenind din erorile de rotunjire ale calculului numeric.

Lungimea secvenței și intervalul de eșantionare determină distribuția punctelor de evaluare în domeniul frecvențelor, distanța dintre frecvențele consecutive fiind $Δ ξ = \frac{1}{N Δ}$ . Această distanță nu trebuie confundată cu posibilitatea efectivă de a separa două componente spectrale apropiate, care depinde și de durata observației și de metoda de analiză. Transformata Fourier discretă reprezintă calculul unei sume finite, nu evaluarea directă a integralei Fourier a unui semnal continuu. Interpretarea rezultatelor ca aproximații ale transformatei continue necesită luarea în considerare a eșantionării, a trunchierii semnalului și a metodei de aproximare a integralei.^[123]

Integrare simbolică

Pentru anumite funcții exprimate analitic, transformata Fourier poate fi calculată exact prin evaluarea integralei corespunzătoare. Rezultatele unor asemenea calcule sunt reunite în tabele de transformate Fourier, care oferă expresii valabile pentru diferite clase de funcții, în condițiile de existență și pentru valorile parametrilor precizate. Aceste relații permit determinarea transformatei fără repetarea calculelor de integrare.^[124]

Calculul simbolic al transformatelor Fourier poate fi realizat și cu ajutorul programelor specializate, precum MATLAB, prin intermediul pachetului Symbolic Math Toolbox. Pentru interpretarea corectă a rezultatelor trebuie cunoscute convenția de semn, factorii de normalizare și variabila spectrală utilizată. De exemplu, pentru funcția $f (t) = \cos (6 π t) e^{- π t^{2}}$ , transformata Fourier în convenția cu nucleul $e^{- 2 π i ξ t}$ este

\hat{f} (ξ) = \frac{1}{2} [e^{- π (ξ - 3)^{2}} + e^{- π (ξ + 3)^{2}}]

.

Rezultatul poate fi obținut în MATLAB prin următorul cod, care utilizează funcția simbolică fourier

syms t w xi real

f = cos(6*sym(pi)*t)*exp(-sym(pi)*t^2);

F_w = fourier(f, t, w);
F_xi = simplify(subs(F_w, w, 2*sym(pi)*xi));

disp(F_xi)

Funcția fourier din MATLAB utilizează implicit transformarea cu nucleul $e^{- i ω t}$ . În exemplul prezentat, substituția $ω = 2 π ξ$ exprimă rezultatul în funcție de frecvența $ξ$ , potrivit convenției adoptate în articol. Transformata obținută este suma a două funcții gaussiene centrate la frecvențele $ξ = - 3$ și $ξ = 3$ . Această proprietate rezultă din descompunerea funcției cosinus în exponențiale complexe și din proprietatea de modulație a transformatei Fourier.

MATLAB permite și modificarea directă a convenției de transformare prin funcția sympref. Parametrul FourierParameters stabilește factorul de normalizare și coeficientul exponentului complex. Valorile implicite sunt [1, -1], iar alegerea [1, -2*pi] corespunde convenției cu nucleul $e^{- 2 π i ξ t}$ . La efectuarea calculelor trebuie verificată convenția activă, deoarece aceasta poate modifica forma expresiilor rezultate.^[125]

Integrare numerică a funcțiilor continue

Atunci când transformata Fourier nu poate fi determinată analitic sau expresia sa exactă este dificil de utilizat, integrala care o definește poate fi aproximată prin metode numerice. Calculul se efectuează pentru frecvențele considerate, folosind reguli de integrare numerică adaptate proprietăților funcției. În cazul integralelor pe întreaga axă reală, aproximarea presupune, de regulă, restrângerea domeniului de integrare la un interval finit și aplicarea unei formule de cuadratură. Precizia rezultatului depinde de eroarea introdusă prin trunchiere, de regularitatea funcției, de alegerea punctelor de integrare și de comportamentul oscilant al nucleului Fourier.^[123] Dacă transformata trebuie evaluată pentru un număr mare de frecvențe, calcularea separată a fiecărei integrale poate necesita un volum considerabil de operații.^[126]^[127]

Integrare numerică din date discrete

Atunci când valorile unei funcții sunt cunoscute numai într-un număr finit de puncte, transformata Fourier poate fi aproximată prin aplicarea unei formule de integrare numerică. Integrala este înlocuită cu o sumă ponderată de forma

\hat{f} (ξ) \approx \sum_{j} w_{j} f (x_{j}) e^{- 2 π i ξ x_{j}}

.

Punctele $x_{j}$ reprezintă pozițiile de eșantionare, iar ponderile $w_{j}$ sunt stabilite prin metoda de integrare aleasă. Pentru puncte echidistante, o aproximare simplă utilizează ponderi egale cu pasul de eșantionare, cu eventualele ajustări la capetele intervalului. Formulele de cuadratură de ordin superior, precum regula lui Simpson, folosesc ponderi diferite și pot oferi o precizie mai bună pentru funcțiile care îndeplinesc condițiile de regularitate necesare. Erorile aproximării depind atât de formula de integrare, cât și de distribuția punctelor și de comportamentul oscilant al integrandului.^[128]

O sumă de aceeași formă poate avea și o interpretare exactă, dacă datele reprezintă o măsură discretă finită. Pentru măsura $μ = \sum_{j} c_{j} δ_{x_{j}}$ , unde $δ_{x_{j}}$ este măsura Dirac concentrată în punctul $x_{j}$ , transformata Fourier–Stieltjes este $\hat{μ} (ξ) = \sum_{j} c_{j} e^{- 2 π i ξ x_{j}}$ .

În acest caz, egalitatea este exactă, iar coeficienții $c_{j}$ reprezintă masele atribuite punctelor, nu ponderi introduse pentru aproximarea integralei unei funcții continue. Cele două interpretări trebuie deosebite, chiar dacă expresiile matematice au aceeași structură.

Tabele de transformate Fourier

Relațiile de mai jos folosesc cele trei convenții definite anterior, în aceeași ordine. Numerele rândurilor permit compararea proprietăților duale. Identitățile între funcții de pătrat integrabil sunt înțelese în sensul lui Plancherel, iar cele care implică distribuții sunt egalități în $𝒮^{'}$ . Definițiile funcțiilor auxiliare și ipotezele asupra parametrilor fac parte din fiecare pereche.^[129]^[130]

Relații operaționale într-o variabilă

Nr.	Funcție	Transformată unitară în frecvență obișnuită $ξ$	Transformată unitară în frecvență unghiulară $ω$	Transformată neunitară în frecvență unghiulară $ω$	Condiții și observații
101	$a f (x) + b g (x)$	$a \hat{f} (ξ) + b \hat{g} (ξ)$	$a \hat{f} (ω) + b \hat{g} (ω)$	$a \hat{f} (ω) + b \hat{g} (ω)$	Liniaritatea, pentru constante complexe $a, b$ .
102	$f (x - a)$	$e^{- i 2 π ξ a} \hat{f} (ξ)$	$e^{- i a ω} \hat{f} (ω)$	$e^{- i a ω} \hat{f} (ω)$	Translație în variabila inițială, pentru $a \in ℝ$ .
103	$f (x) e^{i a x}$	$\hat{f} (ξ - \frac{a}{2 π})$	$\hat{f} (ω - a)$	$\hat{f} (ω - a)$	Modulație, echivalentă cu o translație în frecvență.
104	$f (a x)$	$\frac{1}{\| a \|} \hat{f} (\frac{ξ}{a})$	$\frac{1}{\| a \|} \hat{f} (\frac{ω}{a})$	$\frac{1}{\| a \|} \hat{f} (\frac{ω}{a})$	Schimbare de scară, pentru $a \in ℝ ∖ {0}$ . O comprimare în variabila inițială produce o dilatare a spectrului.
105	${\hat{f}}_{n} (x)$	${\hat{f}}_{1} (x) \overset{ℱ_{1}}{⟷} f (- ξ)$	${\hat{f}}_{2} (x) \overset{ℱ_{2}}{⟷} f (- ω)$	${\hat{f}}_{3} (x) \overset{ℱ_{3}}{⟷} 2 π f (- ω)$	Aplicarea de două ori a aceleiași transformări. Variabila frecvență a primei aplicări este redenumită $x$ .
106	$\frac{d^{n} f (x)}{d x^{n}}$	$(i 2 π ξ)^{n} \hat{f} (ξ)$	$(i ω)^{n} \hat{f} (ω)$	$(i ω)^{n} \hat{f} (ω)$	Derivata de ordin $n$ . Formula este valabilă, în particular, pentru $f \in 𝒮$ .
106.5	$\int_{- \infty}^{x} f (τ) d τ$	$pv \frac{\hat{f} (ξ)}{i 2 π ξ} + C δ (ξ)$	$pv \frac{\hat{f} (ω)}{i ω} + \sqrt{2 π} C δ (ω)$	$pv \frac{\hat{f} (ω)}{i ω} + 2 π C δ (ω)$	Integrare, pentru $f \in 𝒮$ . Câturile se interpretează prin valoare principală și $C = \frac{1}{2} \int_{ℝ} f (t) d t$ . Această constantă reprezintă media limitelor primitivei la cele două capete ale axei.^[131]
107	$x^{n} f (x)$	${(\frac{i}{2 π})}^{n} \frac{d^{n} \hat{f} (ξ)}{d ξ^{n}}$	$i^{n} \frac{d^{n} \hat{f} (ω)}{d ω^{n}}$	$i^{n} \frac{d^{n} \hat{f} (ω)}{d ω^{n}}$	Înmulțire cu un monom. Pentru formula clasică este suficient ca momentele necesare să fie integrabile. Pe $𝒮$ toate ordinele sunt admise.
108	$(f * g) (x)$	$\hat{f} (ξ) \hat{g} (ξ)$	$\sqrt{2 π} \hat{f} (ω) \hat{g} (ω)$	$\hat{f} (ω) \hat{g} (ω)$	Convoluție, pentru $f, g \in L^{1}$ .
109	$f (x) g (x)$	$(\hat{f} * \hat{g}) (ξ)$	$\frac{1}{\sqrt{2 π}} (\hat{f} * \hat{g}) (ω)$	$\frac{1}{2 π} (\hat{f} * \hat{g}) (ω)$	Produs punctual. Este valabil, de exemplu, pentru $f, g \in 𝒮$ , iar formula se extinde în condițiile de integrabilitate corespunzătoare.
110	Pentru $f$ cu valori reale	$\hat{f} (- ξ) = \overline{\hat{f} (ξ)}$	$\hat{f} (- ω) = \overline{\hat{f} (ω)}$	$\hat{f} (- ω) = \overline{\hat{f} (ω)}$	Simetrie hermitiană pentru o funcție reală. Bara reprezintă conjugarea complexă.
113	Pentru $f$ cu valori pur imaginare	$\hat{f} (- ξ) = - \overline{\hat{f} (ξ)}$	$\hat{f} (- ω) = - \overline{\hat{f} (ω)}$	$\hat{f} (- ω) = - \overline{\hat{f} (ω)}$	Simetrie antihermitiană pentru o funcție cu valori pur imaginare.
114	$\overline{f (x)}$	$\overline{\hat{f} (- ξ)}$	$\overline{\hat{f} (- ω)}$	$\overline{\hat{f} (- ω)}$	Conjugare complexă, generalizând cazurile reale și pur imaginare.
115	$f (x) \cos (a x)$	$\frac{\hat{f} (ξ - \frac{a}{2 π}) + \hat{f} (ξ + \frac{a}{2 π})}{2}$	$\frac{\hat{f} (ω - a) + \hat{f} (ω + a)}{2}$	$\frac{\hat{f} (ω - a) + \hat{f} (ω + a)}{2}$	Rezultă din liniaritate, modulație și $\cos (a x) = (e^{i a x} + e^{- i a x}) / 2$ .
116	$f (x) \sin (a x)$	$\frac{\hat{f} (ξ - \frac{a}{2 π}) - \hat{f} (ξ + \frac{a}{2 π})}{2 i}$	$\frac{\hat{f} (ω - a) - \hat{f} (ω + a)}{2 i}$	$\frac{\hat{f} (ω - a) - \hat{f} (ω + a)}{2 i}$	Rezultă din liniaritate, modulație și $\sin (a x) = (e^{i a x} - e^{- i a x}) / (2 i)$ .

Funcții cu pătratul integrabil

Perechile următoare sunt întâlnite și în tabelele de integrale Fourier pentru aplicații.^[132]

Nr.	Funcție	Transformată unitară în frecvență obișnuită $ξ$	Transformată unitară în frecvență unghiulară $ω$	Transformată neunitară în frecvență unghiulară $ω$	Condiții și observații
201	$rect (a x)$	$\frac{1}{\| a \|} sinc (\frac{ξ}{a})$	$\frac{1}{\sqrt{2 π a^{2}}} sinc (\frac{ω}{2 π a})$	$\frac{1}{\| a \|} sinc (\frac{ω}{2 π a})$	Impuls dreptunghiular și sinus cardinal normalizat. Parametrul $a$ este real și nenul.
202	$sinc (a x)$	$\frac{1}{\| a \|} rect (\frac{ξ}{a})$	$\frac{1}{\sqrt{2 π a^{2}}} rect (\frac{ω}{2 π a})$	$\frac{1}{\| a \|} rect (\frac{ω}{2 π a})$	Perechea duală a dreptunghiului, pentru $a$ real și nenul. Funcția sinc aparține lui $L^{2}$ , dar nu lui $L^{1}$ . În interpretarea ca filtru trece-jos ideal, răspunsul la impuls este necauzal.
203	${sinc}^{2} (a x)$	$\frac{1}{\| a \|} tri (\frac{ξ}{a})$	$\frac{1}{\sqrt{2 π a^{2}}} tri (\frac{ω}{2 π a})$	$\frac{1}{\| a \|} tri (\frac{ω}{2 π a})$	Funcția $tri (x) = max (1 - \| x \|, 0)$ este triunghiulară. Parametrul $a$ este real și nenul.
204	$tri (a x)$	$\frac{1}{\| a \|} {sinc}^{2} (\frac{ξ}{a})$	$\frac{1}{\sqrt{2 π a^{2}}} {sinc}^{2} (\frac{ω}{2 π a})$	$\frac{1}{\| a \|} {sinc}^{2} (\frac{ω}{2 π a})$	Perechea duală a pătratului funcției sinc, pentru $a$ real și nenul.
205	$e^{- a x} u (x)$	$\frac{1}{a + i 2 π ξ}$	$\frac{1}{\sqrt{2 π} (a + i ω)}$	$\frac{1}{a + i ω}$	$u$ este funcția treaptă Heaviside și $a > 0$ .
206	$e^{- α x^{2}}$	$\sqrt{\frac{π}{α}} e^{- \frac{(π ξ)^{2}}{α}}$	$\frac{1}{\sqrt{2 α}} e^{- \frac{ω^{2}}{4 α}}$	$\sqrt{\frac{π}{α}} e^{- \frac{ω^{2}}{4 α}}$	$Re α > 0$ , cu rădăcina pătrată aleasă prin continuare din semiaxa reală pozitivă. Pentru o anumită scară, gaussiana este invariantă la transformarea unitară.
208	$e^{- a \| x \|}$	$\frac{2 a}{a^{2} + 4 π^{2} ξ^{2}}$	$\sqrt{\frac{2}{π}} \frac{a}{a^{2} + ω^{2}}$	$\frac{2 a}{a^{2} + ω^{2}}$	$Re a > 0$ . Exponențiala bilateral descrescătoare se transformă într-un profil de tip Lorentz.
209	$sech (a x)$	$\frac{π}{a} sech (\frac{π^{2}}{a} ξ)$	$\frac{1}{a} \sqrt{\frac{π}{2}} sech (\frac{π}{2 a} ω)$	$\frac{π}{a} sech (\frac{π}{2 a} ω)$	$a > 0$ . Secanta hiperbolică este invariantă la transformare pentru scara potrivită.
210	$e^{- \frac{a^{2} x^{2}}{2}} H_{n} (a x)$	$\frac{\sqrt{2 π} (- i)^{n}}{a} e^{- \frac{2 π^{2} ξ^{2}}{a^{2}}} H_{n} (\frac{2 π ξ}{a})$	$\frac{(- i)^{n}}{a} e^{- \frac{ω^{2}}{2 a^{2}}} H_{n} (\frac{ω}{a})$	$\frac{(- i)^{n} \sqrt{2 π}}{a} e^{- \frac{ω^{2}}{2 a^{2}}} H_{n} (\frac{ω}{a})$	$a > 0$ . $H_{n}$ este polinomul Hermite în convenția fizicienilor. Pentru transformata unitară în frecvență unghiulară și $a = 1$ , funcțiile Gauss–Hermite sunt funcții proprii. Cazul $n = 0$ este gaussian.

Distribuții într-o variabilă

Nr.	Funcție	Transformată unitară în frecvență obișnuită $ξ$	Transformată unitară în frecvență unghiulară $ω$	Transformată neunitară în frecvență unghiulară $ω$	Condiții și observații
301	$1$	$δ (ξ)$	$\sqrt{2 π} δ (ω)$	$2 π δ (ω)$	$δ$ este distribuția Dirac.
302	$δ (x)$	$1$	$\frac{1}{\sqrt{2 π}}$	$1$	Perechea duală a constantei.
303	$e^{i a x}$	$δ (ξ - \frac{a}{2 π})$	$\sqrt{2 π} δ (ω - a)$	$2 π δ (ω - a)$	Exponențială complexă, cu $a \in ℝ$ .
304	$\cos (a x)$	$\frac{δ (ξ - \frac{a}{2 π}) + δ (ξ + \frac{a}{2 π})}{2}$	$\sqrt{2 π} \frac{δ (ω - a) + δ (ω + a)}{2}$	$π (δ (ω - a) + δ (ω + a))$	Descompunerea cosinusului în două exponențiale complexe.
305	$\sin (a x)$	$\frac{δ (ξ - \frac{a}{2 π}) - δ (ξ + \frac{a}{2 π})}{2 i}$	$\sqrt{2 π} \frac{δ (ω - a) - δ (ω + a)}{2 i}$	$i π (δ (ω + a) - δ (ω - a))$	Descompunerea sinusului în două exponențiale complexe.
306	$\cos (a x^{2})$	$\sqrt{\frac{π}{a}} \cos (\frac{π^{2} ξ^{2}}{a} - \frac{π}{4})$	$\frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos (\frac{ω^{2}}{4 a} - \frac{π}{4})$	$\sqrt{\frac{π}{a}} \cos (\frac{ω^{2}}{4 a} - \frac{π}{4})$	$a > 0$ . Formula rezultă din combinarea gaussianelor oscilante, interpretate distribuțional.
307	$\sin (a x^{2})$	$- \sqrt{\frac{π}{a}} \sin (\frac{π^{2} ξ^{2}}{a} - \frac{π}{4})$	$\frac{- 1}{\sqrt{2 a}} \sin (\frac{ω^{2}}{4 a} - \frac{π}{4})$	$- \sqrt{\frac{π}{a}} \sin (\frac{ω^{2}}{4 a} - \frac{π}{4})$	$a > 0$ . Formula rezultă din partea imaginară a transformatei unei gaussiene oscilante.
308	$e^{- π i α x^{2}}$	$\frac{1}{\sqrt{\| α \|}} e^{- i \frac{π}{4} sgn (α)} e^{i \frac{π ξ^{2}}{α}}$	$\frac{1}{\sqrt{2 π \| α \|}} e^{- i \frac{π}{4} sgn (α)} e^{i \frac{ω^{2}}{4 π α}}$	$\frac{1}{\sqrt{\| α \|}} e^{- i \frac{π}{4} sgn (α)} e^{i \frac{ω^{2}}{4 π α}}$	$α \in ℝ ∖ {0}$ . Factorul de fază depinde de semnul lui $α$ . Cazul cu amortizare complexă se obține din perechea gaussiană. Limita oscilantă este înțeleasă în $𝒮^{'}$ .
309	$x^{n}$	${(\frac{i}{2 π})}^{n} δ^{(n)} (ξ)$	$i^{n} \sqrt{2 π} δ^{(n)} (ω)$	$2 π i^{n} δ^{(n)} (ω)$	$n \in ℕ_{0}$ , iar $δ^{(n)}$ este derivata distribuțională de ordin $n$ . Prin liniaritate se transformă orice polinom.
310	$δ^{(n)} (x)$	$(i 2 π ξ)^{n}$	$\frac{(i ω)^{n}}{\sqrt{2 π}}$	$(i ω)^{n}$	Perechea duală a monomului, cu aceeași semnificație pentru $δ^{(n)}$ .
311	$pv \frac{1}{x}$	$- i π sgn (ξ)$	$- i \sqrt{\frac{π}{2}} sgn (ω)$	$- i π sgn (ω)$	$pv (1 / x)$ este valoarea principală Cauchy. Formula intervine în transformarea Hilbert.
312	$\begin{matrix} Pf \frac{1}{x^{n}} \\ := \frac{(- 1)^{n - 1}}{(n - 1)!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} \log \| x \| \end{matrix}$	$- i π \frac{(- i 2 π ξ)^{n - 1}}{(n - 1)!} sgn (ξ)$	$- i \sqrt{\frac{π}{2}} \frac{(- i ω)^{n - 1}}{(n - 1)!} sgn (ω)$	$- i π \frac{(- i ω)^{n - 1}}{(n - 1)!} sgn (ω)$	Partea finită este definită prin derivarea distribuțională a lui $\log \| x \|$ , conform expresiei din prima coloană. Pentru $n = 1$ se regăsește valoarea principală.
313	$\| x \|^{α}$	$- \frac{2 \sin (\frac{π α}{2}) Γ (α + 1)}{\| 2 π ξ \|^{α + 1}}$	$\frac{- 2}{\sqrt{2 π}} \frac{\sin (\frac{π α}{2}) Γ (α + 1)}{\| ω \|^{α + 1}}$	$- \frac{2 \sin (\frac{π α}{2}) Γ (α + 1)}{\| ω \|^{α + 1}}$	Formula ca funcție local integrabilă în variabila frecvență este dată pentru $- 1 < α < 0$ . Familia $\| x \|^{α}$ , inițial definită pentru $Re α > - 1$ , are o continuare meromorfă distribuțională, cu poli la $- 1, - 3, \dots$ . Pentru alți exponenți este necesară regularizarea și, în anumite cazuri, apar termeni concentrați în origine.
313a	$\frac{1}{\sqrt{\| x \|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\| ξ \|}}$	$\frac{1}{\sqrt{\| ω \|}}$	$\frac{\sqrt{2 π}}{\sqrt{\| ω \|}}$	Cazul $α = - 1 / 2$ al perechii precedente.
314	$sgn (x)$	$pv \frac{1}{i π ξ}$	$\sqrt{\frac{2}{π}} pv \frac{1}{i ω}$	$pv \frac{2}{i ω}$	$sgn$ este funcția semn. Câturile din transformate sunt valori principale.
315	$u (x)$	$\frac{1}{2} (pv \frac{1}{i π ξ} + δ (ξ))$	$\sqrt{\frac{π}{2}} (pv \frac{1}{i π ω} + δ (ω))$	$π (pv \frac{1}{i π ω} + δ (ω))$	Funcția treaptă Heaviside. Câturile se interpretează prin valoare principală. Valoarea izolată a lui $u (0)$ nu modifică distribuția.
316	$\sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (x - n T)$	$\frac{1}{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ξ - \frac{k}{T})$	$\frac{\sqrt{2 π}}{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - \frac{2 π k}{T})$	$\frac{2 π}{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (ω - \frac{2 π k}{T})$	$T > 0$ . Pieptenele Dirac. Identitatea este distribuțională, ca în formula de sumare Poisson.
317	$J_{0} (x)$	$\frac{2 rect (π ξ)}{\sqrt{1 - 4 π^{2} ξ^{2}}}$	$\sqrt{\frac{2}{π}} \frac{rect (\frac{ω}{2})}{\sqrt{1 - ω^{2}}}$	$\frac{2 rect (\frac{ω}{2})}{\sqrt{1 - ω^{2}}}$	$J_{0}$ este funcția Bessel de prima speță de ordin zero. Expresiile sunt nule în afara intervalului spectral indicat și au singularități integrabile la extremități.
318	$J_{n} (x)$	$\frac{2 (- i)^{n} T_{n} (2 π ξ) rect (π ξ)}{\sqrt{1 - 4 π^{2} ξ^{2}}}$	$\sqrt{\frac{2}{π}} \frac{(- i)^{n} T_{n} (ω) rect (\frac{ω}{2})}{\sqrt{1 - ω^{2}}}$	$\frac{2 (- i)^{n} T_{n} (ω) rect (\frac{ω}{2})}{\sqrt{1 - ω^{2}}}$	$J_{n}$ este funcția Bessel de prima speță, iar $T_{n}$ este polinomul Cebîșev de prima speță, cu $n \in ℕ_{0}$ . Aceeași interpretare la extremități ca în rândul precedent.
319	$\log \| x \|$	$- \frac{1}{2} P (ξ) - (γ + \log (2 π)) δ (ξ)$	$- \sqrt{\frac{π}{2}} P (ω) - \sqrt{2 π} γ δ (ω)$	$- π P (ω) - 2 π γ δ (ω)$	$γ$ este constanta Euler–Mascheroni. Partea finită $P$ este definită după tabel, cu aceeași scară de regularizare în toate coloanele. Schimbarea scării modifică termenul Dirac.
320	${(\mp i x)}^{- α}$	$\frac{{(2 π)}^{α}}{Γ (α)} u (\pm ξ) {(\pm ξ)}^{α - 1}$	$\frac{\sqrt{2 π}}{Γ (α)} u (\pm ω) {(\pm ω)}^{α - 1}$	$\frac{2 π}{Γ (α)} u (\pm ω) {(\pm ω)}^{α - 1}$	$0 < α < 1$ , cu puterea complexă în ramura principală. $u$ este treapta Heaviside. Derivarea distribuțională furnizează extensii la alți exponenți, cu tratarea termenilor singulari.

În rândul 319, partea finită Hadamard, definită cu scara de referință egală cu $1$ , este distribuția temperată $P$ , a cărei acțiune asupra unei funcții-test $φ \in 𝒮 (ℝ)$ este dată de

⟨ P, φ ⟩ = \int_{| s | < 1} \frac{φ (s) - φ (0)}{| s |} d s + \int_{| s | \geq 1} \frac{φ (s)}{| s |} d s

.

Scăderea valorii $φ (0)$ în prima integrală înlătură singularitatea neintegrabilă din origine, permițând definirea distribuției asociate formal expresiei $\frac{1}{| s |}$ . În convenția transformatei Fourier exprimată prin frecvența $ξ$ , factorul $\log (2 π)$ apare ca urmare a schimbării scării în definiția părții finite. Alegerea unei alte scări de regularizare modifică distribuția printr-un multiplu al distribuției Dirac concentrate în origine.^[133]

Funcții cu pătratul integrabil de două variabile

Nr.	Funcție	Transformată unitară în frecvență obișnuită $ξ$	Transformată unitară în frecvență unghiulară $ω$	Transformată neunitară în frecvență unghiulară $ω$	Condiții și observații
400	$f (x, y)$	$\begin{matrix} \hat{f} (ξ_{x}, ξ_{y}) ≜ \\ \iint f (x, y) e^{- i 2 π (ξ_{x} x + ξ_{y} y)} d x d y \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{f} (ω_{x}, ω_{y}) ≜ \\ \frac{1}{2 π} \iint f (x, y) e^{- i (ω_{x} x + ω_{y} y)} d x d y \end{matrix}$	$\begin{matrix} \hat{f} (ω_{x}, ω_{y}) ≜ \\ \iint f (x, y) e^{- i (ω_{x} x + ω_{y} y)} d x d y \end{matrix}$	Integralele sunt pe $ℝ^{2}$ . Toate variabilele de frecvență sunt reale.
401	$e^{- π (a^{2} x^{2} + b^{2} y^{2})}$	$\frac{1}{\| a b \|} e^{- π (\frac{ξ_{x}^{2}}{a^{2}} + \frac{ξ_{y}^{2}}{b^{2}})}$	$\frac{1}{2 π \| a b \|} e^{- \frac{1}{4 π} (\frac{ω_{x}^{2}}{a^{2}} + \frac{ω_{y}^{2}}{b^{2}})}$	$\frac{1}{\| a b \|} e^{- \frac{1}{4 π} (\frac{ω_{x}^{2}}{a^{2}} + \frac{ω_{y}^{2}}{b^{2}})}$	$a, b \in ℝ ∖ {0}$ . Pereche gaussiană bidimensională, fără impunerea unei integrale egale cu unu.
402	$circ (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$	$\frac{J_{1} (2 π \sqrt{ξ_{x}^{2} + ξ_{y}^{2}})}{\sqrt{ξ_{x}^{2} + ξ_{y}^{2}}}$	$\frac{J_{1} (\sqrt{ω_{x}^{2} + ω_{y}^{2}})}{\sqrt{ω_{x}^{2} + ω_{y}^{2}}}$	$\frac{2 π J_{1} (\sqrt{ω_{x}^{2} + ω_{y}^{2}})}{\sqrt{ω_{x}^{2} + ω_{y}^{2}}}$	$circ (r) = 1$ pentru $0 \leq r \leq 1$ și zero în rest. Formula descrie amplitudinea de difracție asociată discului Airy. $J_{1}$ este funcția Bessel de prima speță de ordin unu. În origine se ia limita.^[134]
403	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$	$\frac{1}{\sqrt{ξ_{x}^{2} + ξ_{y}^{2}}}$	$\frac{1}{\sqrt{ω_{x}^{2} + ω_{y}^{2}}}$	$\frac{2 π}{\sqrt{ω_{x}^{2} + ω_{y}^{2}}}$	Pereche radială în sensul distribuțiilor temperate, legată de transformata Hankel a lui $r^{- 1}$ .^[135]
404	$\frac{i}{x + i y}$	$\frac{1}{ξ_{x} + i ξ_{y}}$	$\frac{1}{ω_{x} + i ω_{y}}$	$\frac{2 π}{ω_{x} + i ω_{y}}$	Identitate în sensul distribuțiilor temperate. Singularitățile de ordin $1 / r$ sunt local integrabile în două dimensiuni.

Funcții pe spațiul euclidian de dimensiune arbitrară

Nr.	Funcție	Transformată unitară în frecvență obișnuită $ξ$	Transformată unitară în frecvență unghiulară $ω$	Transformată neunitară în frecvență unghiulară $ω$	Condiții și observații
500	$f (𝐱)$	$\begin{matrix} {\hat{f}}_{1} (𝝃) ≜ \\ \int_{ℝ^{n}} f (𝐱) e^{- i 2 π 𝝃 \cdot 𝐱} d 𝐱 \end{matrix}$	$\begin{matrix} {\hat{f}}_{2} (𝝎) ≜ \\ \frac{1}{{(2 π)}^{\frac{n}{2}}} \int_{ℝ^{n}} f (𝐱) e^{- i 𝝎 \cdot 𝐱} d 𝐱 \end{matrix}$	$\begin{matrix} {\hat{f}}_{3} (𝝎) ≜ \\ \int_{ℝ^{n}} f (𝐱) e^{- i 𝝎 \cdot 𝐱} d 𝐱 \end{matrix}$	$𝐱, 𝝃, 𝝎 \in ℝ^{n}$ .
501	$χ_{[0, 1]} (\| 𝐱 \|) {(1 - \| 𝐱 \|^{2})}^{δ}$	$\frac{Γ (δ + 1)}{π^{δ} \| 𝝃 \|^{γ}} J_{γ} (2 π \| 𝝃 \|)$	$2^{δ} \frac{Γ (δ + 1)}{{\| 𝝎 \|}^{γ}} J_{γ} (\| 𝝎 \|)$	$\frac{Γ (δ + 1)}{π^{δ}} {\| \frac{𝝎}{2 π} \|}^{- γ} J_{γ} (\| 𝝎 \|)$	$δ > - 1$ și $γ = n / 2 + δ$ . $χ_{[0, 1]}$ este funcția indicatoare, $Γ$ funcția gamma și $J_{γ}$ funcția Bessel de prima speță. Cazul $n = 2, δ = 0$ dă perechea discului.^[136]
502	$\| 𝐱 \|^{- α}, 0 < Re α < n$	$\frac{(2 π)^{α}}{c_{n, α}} \| 𝝃 \|^{- (n - α)}$	$\frac{(2 π)^{\frac{n}{2}}}{c_{n, α}} \| 𝝎 \|^{- (n - α)}$	$\frac{(2 π)^{n}}{c_{n, α}} \| 𝝎 \|^{- (n - α)}$	$0 < Re α < n$ . Constanta $c_{n, α}$ este dată după tabel. Relația este legată de potențialele Riesz. Continuarea analitică la $α \notin {n, n + 2, n + 4, \dots}$ necesită distribuții regularizate.^[137]
503	$\frac{1}{\| 𝝈 \| {(2 π)}^{\frac{n}{2}}} e^{- \frac{1}{2} 𝐱^{T} 𝝈^{- T} 𝝈^{- 1} 𝐱}$	$e^{- 2 π^{2} 𝝃^{T} 𝝈 𝝈^{T} 𝝃}$	$(2 π)^{- \frac{n}{2}} e^{- \frac{1}{2} 𝝎^{T} 𝝈 𝝈^{T} 𝝎}$	$e^{- \frac{1}{2} 𝝎^{T} 𝝈 𝝈^{T} 𝝎}$	$𝝈$ este o matrice reală inversabilă, iar $\| 𝝈 \| = \| det 𝝈 \|$ . Densitate normală multivariată, de medie zero și covarianță $𝜮 = 𝝈 𝝈^{T}$ , normalizată la integrală unu. Inversa covarianței este $𝝈^{- T} 𝝈^{- 1}$ .
504	$e^{- 2 π α \| 𝐱 \|}$	$\frac{c_{n} α}{{(α^{2} + \| 𝝃 \|^{2})}^{\frac{n + 1}{2}}}$	$\frac{c_{n} (2 π)^{\frac{n + 2}{2}} α}{{(4 π^{2} α^{2} + \| 𝝎 \|^{2})}^{\frac{n + 1}{2}}}$	$\frac{c_{n} (2 π)^{n + 1} α}{{(4 π^{2} α^{2} + \| 𝝎 \|^{2})}^{\frac{n + 1}{2}}}$	$Re α > 0$ și $c_{n} = Γ ((n + 1) / 2) / π^{(n + 1) / 2}$ .^[138]

Constanta $c_{n, α}$ din formula corespunzătoare rândului 502 este dată de

c_{n, α} = \frac{2^{α} π^{n / 2} Γ (\frac{α}{2})}{Γ (\frac{n - α}{2})}

, unde

Γ

este funcția gamma a lui Euler.

Pentru $0 < Re α < n$ , funcțiile omogene $| x |^{- α}$ și $| ξ |^{α - n}$ sunt local integrabile și definesc distribuții temperate. În această situație, identitatea dintre transformatele lor Fourier este valabilă în sensul distribuțiilor, fără ca integrala Fourier să fie neapărat absolut convergentă. În afara intervalului indicat, extinderea formulei necesită interpretarea corespunzătoare în teoria distribuțiilor, prin continuare analitică sau regularizare, după caz.^[137]

Funcția dreptunghiulară considerată în tabel este egală cu $1$ pentru $| x | < \frac{1}{2}$ și cu $0$ pentru $| x | > \frac{1}{2}$ . Valorile atribuite în punctele $x = \pm \frac{1}{2}$ nu influențează transformata Fourier, deoarece modificarea unei funcții într-un număr finit de puncte nu schimbă clasa sa de echivalență în $L^{2} (ℝ)$ și nici valoarea integralei Lebesgue. Funcția sinus cardinal normalizată este definită prin $sinc (x) = \frac{\sin (π x)}{π x}$ pentru $x \neq 0$ , iar în origine se prelungește prin continuitate, cu $sinc (0) = 1$ . Această definiție trebuie deosebită de forma nenormalizată $\frac{\sin x}{x}$ , întâlnită în unele lucrări de analiză matematică. Cele două convenții diferă prin schimbarea scării argumentului și conduc la formule Fourier corespunzătoare.

Vezi și

Note

↑ Distincția rezultă adesea din context. Aplicarea transformării unei funcții desemnează operația, iar transformata unei funcții desemnează rezultatul. În literatura românească se întâlnește și distincția explicită dintre transformarea Fourier ca operator și transformata Fourier ca imagine a unei funcții. Conform Olteanu, p. 17.
↑ În mecanica cuantică relativistă apar transformate ale funcțiilor de undă cu mai multe componente. În teoria cuantică a câmpurilor sunt utilizate transformate ale unor funcții operatoriale de spațiu–timp. Greiner & Reinhardt 1996.
↑ Deplasarea frecvenței are forma $ℱ {f (x) e^{- 2 π i ξ_{0} x}} (ξ) = \hat{f} (ξ + ξ_{0})$ . Valoarea la $ξ = 0$ este $\hat{f} (ξ_{0})$ , ceea ce exprimă deplasarea componentei $ξ_{0}$ la zero. Semnul din argumentul transformatei nu indică o deplasare fizică în sens opus.

Referințe

↑ Vretblad 2003.
↑ Pinsky 2002, p. 91.
↑ Stade 2005, pp. 298–299.
↑ Holhoș, §10.1, teorema 10.18.
↑ Rahman 2011, p. 10.
↑ Oppenheim, Schafer & Buck 1999, p. 58.
↑ Gelfand & Shilov 1968, p. 128.
↑ Lieb & Loss 2001, pp. 123–125.
↑ Titchmarsh 1986.
↑ Dym & McKean 1985.
1 2 3 4 5 Howe 1980.
↑ Folland 1989.
↑ Tong, §2.4.1, ecuațiile 2.134–2.141.
↑ Holhoș, p. 1.
↑ Arfken 1985.
↑ Grosu, p. 4.
↑ Lupșa 2008, p. 64.
↑ Smith 2007.
↑ Olteanu, pp. 16–18.
↑ Miller & Piatetski-Shapiro 1998, §1.4, propoziția 1.2.
1 2 3 4 5 6 7 Pinsky 2002.
↑ Holhoș, § 10.1.1.
1 2 Proakis & Manolakis 1996, p. 291.
↑ Katznelson 2004, p. 153.
1 2 Stein & Weiss 1971, pp. 1–2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Stein & Weiss 1971.
1 2 Rudin 1987, pp. 186–187.
1 2 3 Stein & Weiss 1971, teorema 2.3.
↑ Holhoș, teorema 10.21.
1 2 Proakis & Manolakis 1996.
↑ Hunter 2014, pp. 78–80.
↑ Holhoș, teorema 10.15.
1 2 Hunter 2014, teorema 5.66.
↑ Holhoș, teoremele 10.13–10.14.
1 2 Folland 1992, p. 216.
1 2 Wolf 1979, pp. 307–312.
↑ Folland 1989, p. 53.
1 2 3 Celeghini, Gadella & del Olmo 2021, § 2.
1 2 3 4 Duoandikoetxea 2001.
↑ Celeghini, Gadella & del Olmo 2021, § 2, ecuațiile 2.15–2.20.
↑ Wolf 1979, pp. 312, 320.
↑ Folland 1989, p. 52.
↑ Boashash 2003.
↑ Condon 1937.
1 2 3 Hunter 2014, apendicele 5.B.
↑ Wolf 1979, p. 320.
1 2 Woit 2023, § 4.1 și § 4.3.
1 2 Woit 2023, § 3.1–3.3.
↑ Woit 2023, § 3.3 și § 4.1.
1 2 Paley & Wiener 1934.
↑ Gelfand & Vilenkin 1964.
↑ Kirillov & Gvishiani 1982.
↑ Clozel & Delorme 1985, pp. 331–333.
↑ de Groot & Mazur 1984, p. 146.
↑ Champeney 1987, p. 80.
1 2 3 4 Kolmogorov & Fomin 1999.
↑ Wiener 1949.
↑ Champeney 1987, p. 63.
1 2 3 Pinsky 2002, § 2.4.3.
↑ Wigderson & Wigderson 2021, § 4.3, teorema 4.9.
1 2 Strohmer.
↑ Stein & Shakarchi 2003, § 5.4.
↑ Białynicki-Birula & Mycielski 1975, pp. 129–131.
↑ Chatfield 2004, p. 113.
↑ Fourier 1822, p. 441.
↑ Poincaré 1895, p. 102.
↑ Whittaker & Watson 1927, p. 188.
↑ Grafakos 2004.
↑ Grafakos & Teschl 2013, teorema 1.1.
↑ Duoandikoetxea 2001, teorema 8.3.
↑ Fefferman 1971, pp. 330–336.
↑ Rudin 1987, pp. 182–183.
↑ Chandrasekharan 1989, pp. 7–8, 84.
↑ Candès 2016, prelegerea 3.
1 2 3 4 Katznelson 2004.
↑ Mallat 2009, p. 45.
↑ Strichartz 1994, p. 150.
↑ Hunter 2014, apendicele 5.A și teorema 5.66.
↑ Hunter 2014, definiția 5.68.
↑ Strichartz 1994.
↑ Salo 2024, teoremele 3.9.1 și 3.9.9.
↑ Pinsky 2002, p. 256.
↑ Rudin 1991, p. 15.
↑ Edwards 1982, pp. 53, 67, 72–73.
↑ Edwards 1982, p. 53.
↑ Katznelson 2004, pp. 40, 155, 164.
↑ Katznelson 2004, p. 173.
↑ Billingsley 1995, p. 345.
1 2 3 4 5 6 Rudin 1991.
↑ Bell 2014, secțiunile despre funcții pozitiv definite și teorema lui Bochner.
↑ Bell 2014, secțiunile despre transformata Fourier și măsura Haar pe grupul dual.
↑ Hewitt & Ross 1970, capitolul despre reprezentări și grupuri compacte.
1 2 3 Knapp 2001.
↑ Shapiro 2024, teorema 8.36.
1 2 3 4 5 Hewitt & Ross 1970, capitolul VIII.
↑ Hewitt & Ross 1970.
1 2 3 Hunter 2014, § 7.1.
1 2 3 Precup 2004, § 5.3.
↑ Hunter 2014, §§ 5.A.2–5.A.3.
↑ Ablowitz et al. 1974, pp. 249–315.
↑ Lax 1968, pp. 467–490.
↑ Yousefi & Kschischang 2014, pp. 4312–4328.
↑ Keeler 2010, §§ 5.1–5.3.
↑ Griffiths & de Haseth 2007, §§ 2.1–2.2.
↑ Griffiths & de Haseth 2007, pp. 5, 12–13.
↑ Gross 2017, § 4.7.10.
↑ Brown et al. 2014, pp. 7–8.
↑ Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivele 9–16.
↑ Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivul 32.
↑ Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivele 13–16.
↑ Beu 2020, „Formalismul mecanicii ondulatorii”, diapozitivele 5–6.
↑ Beu 2020, „Formalismul mecanicii ondulatorii”, diapozitivele 32–34.
↑ Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivele 18–21 și 32.
↑ Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivele 25–28.
↑ Beu 2020, „Formalismul mecanicii ondulatorii”, diapozitivele 25–26.
↑ Tong, §§ 2.1–2.2.
↑ Wolf 1979, p. 312.
↑ Grosu, § 9.1, definiția 9.1.5 și teorema 9.1.14.
↑ Shalizi 2006, §§ 21.1–21.2.
↑ Shalizi 2006, § 21.1, teorema 240.
↑ Shalizi 2006, § 21.1, teoremele 240 și 244.
↑ Shalizi 2006, § 21.1.
1 2 Press et al. 1992, § 13.9.
↑ Gradshteyn et al. 2015.
↑ „fourier — Fourier transform of symbolic expression or function”. MATLAB Documentation. MathWorks. Accesat în 20 octombrie 2026.
↑ Bailey & Swarztrauber 1994.
↑ Lado 1971.
↑ Simonen & Olkkonen 1985.
↑ Erdélyi 1954.
↑ Kammler 2000, anexa cu tabele.
↑ NIST, § 1.16(viii).
↑ Campbell & Foster 1948.
↑ Gelfand & Shilov 1964.
↑ Stein & Weiss 1971, teorema IV.3.3.
↑ Easton 2010.
↑ Stein & Weiss 1971, teorema 4.15.
1 2 Gelfand & Shilov 1964, p. 363.
↑ Stein & Weiss 1971, p. 6.

Bibliografie

Ablowitz, Mark J.; Kaup, David J.; Newell, Alan C.; Segur, Harvey (1974). „The Inverse Scattering Transform‐Fourier Analysis for Nonlinear Problems”. Studies in Applied Mathematics. 53 (4): 249–315. doi:10.1002/sapm1974534249. ISSN 0022-2526.
Arfken, George (1985). Mathematical Methods for Physicists (ed. 3). Academic Press. ISBN 978-0-12-059820-5.
Bailey, David H.; Swarztrauber, Paul N. (1994). „A fast method for the numerical evaluation of continuous Fourier and Laplace transforms”. SIAM Journal on Scientific Computing. 15 (5): 1105–1110. Bibcode:1994SJSC...15.1105B. doi:10.1137/0915067.
Bell, Jordan (4 iunie 2014). Locally compact abelian groups (Note academice online).
Beu, Titus (2020). Mecanica ondulatorie (Suport de curs de mecanică cuantică). Universitatea Babeș-Bolyai.
Białynicki-Birula, Iwo; Mycielski, Jerzy (1975). „Uncertainty relations for information entropy in wave mechanics”. Communications in Mathematical Physics (în engleză). 44 (2): 129–132. doi:10.1007/BF01608825.
Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure. New York, NY: Wiley. ISBN 978-0-471-00710-4.
Boashash, B., ed. (2003). Time–Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference. Oxford: Elsevier Science. ISBN 978-0-08-044335-5.
Campbell, George; Foster, Ronald (1948). Fourier Integrals for Practical Applications. New York: D. Van Nostrand Company, Inc.
Candès, Emmanuel (12 ianuarie 2016). Applied Fourier Analysis and Elements of Modern Signal Processing Lecture 3 (note de curs) (în engleză). Stanford University.
Celeghini, Enrico; Gadella, Manuel; del Olmo, Mariano A. (2021). „Hermite Functions and Fourier Series”. Symmetry. 13 (5): 853. arXiv:2007.10406 . Bibcode:2021Symm...13..853C. doi:10.3390/sym13050853 .
Champeney, D.C. (1987). A Handbook of Fourier Theorems. Cambridge University Press. Bibcode:1987hft..book.....C.
Chandrasekharan, Komaravolu (1989). Classical Fourier Transforms. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/978-3-642-74029-9. ISBN 978-3-540-50248-7.
Chatfield, Chris (2004). The Analysis of Time Series: An Introduction. Texts in Statistical Science (ed. 6). London: Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-0-203-49168-3.
Clozel, Laurent; Delorme, Patrick (1985). „Sur le théorème de Paley-Wiener invariant pour les groupes de Lie réductifs réels”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 300: 331–333.
Condon, E. U. (1937). „Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations”. Proc. Natl. Acad. Sci. 23 (3): 158–164. Bibcode:1937PNAS...23..158C. doi:10.1073/pnas.23.3.158 . PMC 1076889 . PMID 16588141.
Correia, L. B.; Justo, J. F.; Angélico, B. A. (2024). „Polynomial Adaptive Synchrosqueezing Fourier Transform: A method to optimize multiresolution”. Digital Signal Processing. 150. Articolul 104526. Bibcode:2024DSPRJ.15004526C. doi:10.1016/j.dsp.2024.104526.
de Groot, Sybren R.; Mazur, Peter (1984). Non-Equilibrium Thermodynamics. New York: Dover.
Duoandikoetxea, Javier (2001). Fourier Analysis. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2172-5.
Dym, H.; McKean, H. (1985). Fourier Series and Integrals. Academic Press. ISBN 978-0-12-226451-1.
Easton, Roger L. Jr. (2010). Fourier Methods in Imaging (în engleză). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-68983-7.
Edwards, R. E. (1982). Fourier Series: A Modern Introduction. Graduate Texts in Mathematics 85. 2 (ed. 2). New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4613-8156-3. ISBN 978-1-4613-8158-7.
Erdélyi, Arthur, ed. (1954). Tables of Integral Transforms. 1. McGraw-Hill.
Fefferman, Charles (1971). „The multiplier problem for the ball”. Annals of Mathematics. Second Series (în engleză). 94 (2): 330–336. doi:10.2307/1970864.
Folland, Gerald (1989). Harmonic analysis in phase space. Princeton University Press.
Folland, Gerald (1992). Fourier analysis and its applications. Wadsworth & Brooks/Cole.
Fourier, J.B. Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur (în franceză). Paris: Firmin Didot, père et fils. OCLC 2688081.
Fourier, J.B. Joseph (1878) [1822]. The Analytical Theory of Heat. Tradus de Alexander Freeman. The University Press.
Gelfand, I.M.; Vilenkin, N.Y. (1964). Generalized Functions. 4. New York: Academic Press.
Gelfand, I.M.; Shilov, G.E. (1964). Generalized Functions: Properties and Operations. 1. New York: Academic Press.
Gelfand, I.M.; Shilov, G.E. (1968). Generalized Functions: Spaces of Fundamental and Generalized Functions. 2. New York: Academic Press.
Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015). Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo, ed. Table of Integrals, Series, and Products (în engleză). Tradus de Scripta Technica, Inc. (ed. 8). Academic Press. ISBN 978-0-12-384933-5.
Grafakos, Loukas (2004). Classical and Modern Fourier Analysis. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-035399-3.
Grafakos, Loukas; Teschl, Gerald (2013). „On Fourier transforms of radial functions and distributions”. J. Fourier Anal. Appl. 19 (1): 167–179. arXiv:1112.5469 . Bibcode:2013JFAA...19..167G. doi:10.1007/s00041-012-9242-5.
Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996). Field Quantization. Springer. ISBN 978-3-540-59179-5.
Grosu, Gabriela. „9.1 Transformata Fourier”. Matematici Speciale, AIA. Curs nr. 10 (Suport de curs, fără an precizat). Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iași.
Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1970). Abstract harmonic analysis: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152. II. Springer. MR 0262773.
Holhoș, Adrian. Curs 10. Transformata Fourier (Suport de curs, fără an precizat). Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca.
Howe, Roger (1980). „On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis”. Bulletin of the American Mathematical Society. 3 (2): 821–843. doi:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9 . MR 0578375.
Hunter, John K. (2014). „Appendix 5.A–5.B. The Fourier transform”. Notes on Partial Differential Equations. University of California, Davis.
Jordan, Camille (1894). Cours d'Analyse de l'École Polytechnique (în franceză). II, Calcul Intégral: Intégrales définies et indéfinies (ed. 2). Paris: Gauthier-Villars.
Kammler, David (2000). A First Course in Fourier Analysis. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-578782-3.
Katznelson, Yitzhak (2004). An Introduction to Harmonic Analysis. Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9781139165372. ISBN 978-0-521-83829-0.
Kirillov, Alexandre; Gvishiani, Alexei D. (1982) [1979]. Theorems and Problems in Functional Analysis. Springer.
Knapp, Anthony W. (2001). Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-09089-4.
Kolmogorov, Andrey Nikolaevich; Fomin, Sergei Vasilyevich (1999) [1957]. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Dover.
Lado, F. (1971). „Numerical Fourier transforms in one, two, and three dimensions for liquid state calculations”. Journal of Computational Physics. 8 (3): 417–433. Bibcode:1971JCoPh...8..417L. doi:10.1016/0021-9991(71)90021-0.
Lax, Peter D. (1968). „Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves”. Communications on Pure and Applied Mathematics. 21 (5): 467–490. doi:10.1002/cpa.3160210503 . ISSN 0010-3640.
Lieb, Elliott H.; Loss, Michael (2001). Analysis. Providence (R. I.): American Mathematical Soc. ISBN 0-8218-2783-9.
Lupșa, Radu-Lucian (2008). Rețele de calculatoare. Casa Cărții de Știință. ISBN 978-973-133-377-9.
Mallat, Stéphane (2009). A wavelet tour of signal processing: the sparse way. Amsterdam Boston: Elsevier/Academic Press. doi:10.1016/B978-0-12-374370-1.X0001-8. ISBN 978-0-12-374370-1.
Miller, Stephen D.; Piatetski-Shapiro, Ilya (8 septembrie 1998). Notes from the Senior Seminar (Note de seminar). Yale University.
NIST. „NIST Digital Library of Mathematical Functions”. National Institute of Standards and Technology. Accesat în 15 octombrie 2026.
Olteanu, Mircea. Curs de analiză funcțională (Suport de curs, fără an precizat). Politehnica București.
Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). Discrete-time signal processing (ed. 2). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
Paley, R.E.A.C.; Wiener, Norbert (1934). Fourier Transforms in the Complex Domain. American Mathematical Society Colloquium Publications. 19. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
Pinsky, Mark (2002). Introduction to Fourier Analysis and Wavelets. Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-37660-4.
Poincaré, Henri (1895). Théorie analytique de la propagation de la chaleur. Paris: Carré.
Precup, Radu (2004). Lecții de ecuații cu derivate parțiale. Cluj-Napoca: Presa Universitară Clujeană.
Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (1992). Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing (ed. 2). Cambridge University Press. ISBN 0-521-43108-5.
Proakis, John G.; Manolakis, Dimitris G. (1996). Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (în engleză) (ed. 3). New Jersey: Prentice-Hall International. Bibcode:1996dspp.book.....P. ISBN 978-0-13-373762-2.
Rahman, Matiur (2011). Applications of Fourier Transforms to Generalized Functions. WIT Press. ISBN 978-1-84564-564-9.
Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (ed. 3). Singapore: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-100276-9.
Rudin, Walter (1991). Fourier Analysis on Groups. New York, NY: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-52364-2.
Salo, Mikko (2024). Fourier analysis. Lecture notes, Fall 2024 (note de curs) (în engleză). Department of Mathematics and Statistics, University of Jyväskylä.
Shalizi, Cosma Rohilla (2006). „Spectral Analysis and L2 Ergodicity” (PDF). Stochastic Processes, Advanced Probability II, Carnegie Mellon University. Accesat în 15 octombrie 2026.
Shapiro, Jacob (2024). Functional Analysis. Princeton University MAT520 Lecture Notes (Note de curs, versiunea din 5 septembrie 2024). Princeton University.
Simonen, P.; Olkkonen, H. (1985). „Fast method for computing the Fourier integral transform via Simpson's numerical integration”. Journal of Biomedical Engineering. 7 (4): 337–340. doi:10.1016/0141-5425(85)90067-6. PMID 4057997.
Smith, Julius O. (2007). „Positive and Negative Frequencies”. Mathematics of the DFT (ed. 2).
Stade, Eric (2005). Fourier Analysis. Wiley. doi:10.1002/9781118165508. ISBN 978-0-471-66984-5.
Stein, Elias; Weiss, Guido (1971). Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.
Stein, Elias; Shakarchi, Rami (2003). Fourier Analysis: An introduction. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11384-5.
Strichartz, Robert S. (1994). A guide to distribution theory and Fourier transforms. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4.
Strohmer, Thomas. „From Fourier expansions to Gabor expansions”. A Short Introduction to Gabor Analysis (în engleză). University of California, Davis.
Titchmarsh, E. (1986). Introduction to the theory of Fourier integrals (ed. 3). New York: Chelsea Publishing Co. ISBN 978-0-8284-0324-5.
Tong, David. „Quantum Field Theory. 2. Free Fields”. University of Cambridge. Accesat în 15 octombrie 2026.
Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and its Applications. Graduate Texts in Mathematics. 223. New York: Springer. doi:10.1007/b97452. ISBN 978-0-387-00836-3.
Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis (ed. 4). Cambridge University Press.
Wiener, Norbert (1949). Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series: With Engineering Applications. MIT Press. ISBN 978-0-262-25719-0.
Wigderson, Avi; Wigderson, Yuval (2021). „The uncertainty principle: Variations on a theme”. Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society (în engleză). 58 (2): 225–261. doi:10.1090/bull/1715.
Woit, Peter (1 iunie 2023). From Quantum Mechanics to Number Theory via the Oscillator Representation (note de curs) (în engleză). Department of Mathematics, Columbia University.
Wolf, Kurt B. (1979). Integral Transforms in Science and Engineering. New York: Plenum Press. doi:10.1007/978-1-4757-0872-1.
Wolfram Research. „FourierTransform”. Wolfram Language Documentation. Accesat în 15 octombrie 2026.
Yousefi, Mansoor I; Kschischang, Frank R (2014). „Information Transmission Using the Nonlinear Fourier Transform, Part I: Mathematical Tools”. IEEE Transactions on Information Theory. 60 (7): 4312–4328. arXiv:1202.3653 . doi:10.1109/TIT.2014.2321143 . ISSN 0018-9448.
Zhou, Hongjun (2019). „NMR Theory and Techniques”. UC Santa Barbara, NMR Facility. Accesat în 15 octombrie 2026.

Legături externe

Commons

Wikimedia Commons conține materiale multimedia legate de transformate Fourier

John K. Hunter, Notes on Partial Differential Equations, inclusiv apendicele despre transformata Fourier.
Peter Woit, From Quantum Mechanics to Number Theory via the Oscillator Representation, pentru legătura cu grupul Heisenberg.
Mikko Salo, Fourier analysis, curs universitar, 2024.
David Tong, Quantum Field Theory, secțiunea despre câmpuri libere.
Jordan Bell, Locally compact abelian groups, 2014.
Jacob Shapiro, Functional Analysis. Princeton University MAT520 Lecture Notes, versiunea din 2024.
Stephen D. Miller și Ilya Piatetski-Shapiro, Notes from the Senior Seminar, 1998.
NIST Digital Library of Mathematical Functions, secțiunea despre transformări integrale și secțiunea despre distribuții.
Transformata Fourier în MathWorld.
Transformata Fourier în cristalografie, Institutul de Chimie Fizică Rocasolano, CSIC.

[1] Distincția rezultă adesea din context. Aplicarea transformării unei funcții desemnează operația, iar transformata unei funcții desemnează rezultatul. În literatura românească se întâlnește și distincția explicită dintre transformarea Fourier ca operator și transformata Fourier ca imagine a unei funcții. Conform Olteanu, p. 17.

[3] În mecanica cuantică relativistă apar transformate ale funcțiilor de undă cu mai multe componente. În teoria cuantică a câmpurilor sunt utilizate transformate ale unor funcții operatoriale de spațiu–timp. Greiner & Reinhardt 1996.

[20] Deplasarea frecvenței are forma $ℱ {f (x) e^{- 2 π i ξ_{0} x}} (ξ) = \hat{f} (ξ + ξ_{0})$ . Valoarea la $ξ = 0$ este $\hat{f} (ξ_{0})$ , ceea ce exprimă deplasarea componentei $ξ_{0}$ la zero. Semnul din argumentul transformatei nu indică o deplasare fizică în sens opus.

[FOOTNOTEVretblad2003-2] Vretblad 2003.

[FOOTNOTEPinsky200291-4] Pinsky 2002, p. 91.

[FOOTNOTEStade2005298–299-5] Stade 2005, pp. 298–299.

[FOOTNOTEHolhoș§10.1,_teorema_10.18-6] Holhoș, §10.1, teorema 10.18.

[FOOTNOTERahman201110-7] Rahman 2011, p. 10.

[FOOTNOTEOppenheimSchaferBuck199958-8] Oppenheim, Schafer & Buck 1999, p. 58.

[FOOTNOTEGelfandShilov1968128-9] Gelfand & Shilov 1968, p. 128.

[FOOTNOTELiebLoss2001123–125-10] Lieb & Loss 2001, pp. 123–125.

[FOOTNOTETitchmarsh1986-11] Titchmarsh 1986.

[FOOTNOTEDymMcKean1985-12] Dym & McKean 1985.

[FOOTNOTEHowe1980-13] 1 2 3 4 5 Howe 1980.

[FOOTNOTEFolland1989-14] Folland 1989.

[FOOTNOTETong§2.4.1,_ecuațiile_2.134–2.141-15] Tong, §2.4.1, ecuațiile 2.134–2.141.

[FOOTNOTEHolhoș1-16] Holhoș, p. 1.

[FOOTNOTEArfken1985-17] Arfken 1985.

[FOOTNOTEGrosu4-18] Grosu, p. 4.

[FOOTNOTELupșa200864-19] Lupșa 2008, p. 64.

[FOOTNOTESmith2007-21] Smith 2007.

[FOOTNOTEOlteanu16–18-22] Olteanu, pp. 16–18.

[FOOTNOTEMillerPiatetski-Shapiro1998§1.4,_propoziția_1.2-23] Miller & Piatetski-Shapiro 1998, §1.4, propoziția 1.2.

[FOOTNOTEPinsky2002-24] 1 2 3 4 5 6 7 Pinsky 2002.

[FOOTNOTEHolhoș§_10.1.1-25] Holhoș, § 10.1.1.

[FOOTNOTEProakisManolakis1996291-26] 1 2 Proakis & Manolakis 1996, p. 291.

[FOOTNOTEKatznelson2004153-27] Katznelson 2004, p. 153.

[FOOTNOTESteinWeiss19711–2-28] 1 2 Stein & Weiss 1971, pp. 1–2.

[FOOTNOTESteinWeiss1971-29] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Stein & Weiss 1971.

[FOOTNOTERudin1987186–187-30] 1 2 Rudin 1987, pp. 186–187.

[FOOTNOTESteinWeiss1971teorema_2.3-31] 1 2 3 Stein & Weiss 1971, teorema 2.3.

[FOOTNOTEHolhoșteorema_10.21-32] Holhoș, teorema 10.21.

[FOOTNOTEProakisManolakis1996-33] 1 2 Proakis & Manolakis 1996.

[FOOTNOTEHunter201478–80-34] Hunter 2014, pp. 78–80.

[FOOTNOTEHolhoșteorema_10.15-35] Holhoș, teorema 10.15.

[FOOTNOTEHunter2014teorema_5.66-36] 1 2 Hunter 2014, teorema 5.66.

[FOOTNOTEHolhoșteoremele_10.13–10.14-37] Holhoș, teoremele 10.13–10.14.

[FOOTNOTEFolland1992216-38] 1 2 Folland 1992, p. 216.

[FOOTNOTEWolf1979307–312-39] 1 2 Wolf 1979, pp. 307–312.

[FOOTNOTEFolland198953-40] Folland 1989, p. 53.

[FOOTNOTECeleghiniGadelladel_Olmo2021§_2-41] 1 2 3 Celeghini, Gadella & del Olmo 2021, § 2.

[FOOTNOTEDuoandikoetxea2001-42] 1 2 3 4 Duoandikoetxea 2001.

[FOOTNOTECeleghiniGadelladel_Olmo2021§_2,_ecuațiile_2.15–2.20-43] Celeghini, Gadella & del Olmo 2021, § 2, ecuațiile 2.15–2.20.

[FOOTNOTEWolf1979312,_320-44] Wolf 1979, pp. 312, 320.

[FOOTNOTEFolland198952-45] Folland 1989, p. 52.

[FOOTNOTEBoashash2003-46] Boashash 2003.

[FOOTNOTECondon1937-47] Condon 1937.

[FOOTNOTEHunter2014apendicele_5.B-48] 1 2 3 Hunter 2014, apendicele 5.B.

[FOOTNOTEWolf1979320-49] Wolf 1979, p. 320.

[FOOTNOTEWoit2023§_4.1_și_§_4.3-50] 1 2 Woit 2023, § 4.1 și § 4.3.

[FOOTNOTEWoit2023§_3.1–3.3-51] 1 2 Woit 2023, § 3.1–3.3.

[FOOTNOTEWoit2023§_3.3_și_§_4.1-52] Woit 2023, § 3.3 și § 4.1.

[FOOTNOTEPaleyWiener1934-53] 1 2 Paley & Wiener 1934.

[FOOTNOTEGelfandVilenkin1964-54] Gelfand & Vilenkin 1964.

[FOOTNOTEKirillovGvishiani1982-55] Kirillov & Gvishiani 1982.

[FOOTNOTEClozelDelorme1985331–333-56] Clozel & Delorme 1985, pp. 331–333.

[FOOTNOTEde_GrootMazur1984146-57] Groot & Mazur 1984, p. 146.

[FOOTNOTEChampeney198780-58] Champeney 1987, p. 80.

[FOOTNOTEKolmogorovFomin1999-59] 1 2 3 4 Kolmogorov & Fomin 1999.

[FOOTNOTEWiener1949-60] Wiener 1949.

[FOOTNOTEChampeney198763-61] Champeney 1987, p. 63.

[FOOTNOTEPinsky2002§_2.4.3-62] 1 2 3 Pinsky 2002, § 2.4.3.

[FOOTNOTEWigdersonWigderson2021§_4.3,_teorema_4.9-63] Wigderson & Wigderson 2021, § 4.3, teorema 4.9.

[FOOTNOTEStrohmer-64] 1 2 Strohmer.

[FOOTNOTESteinShakarchi2003§_5.4-65] Stein & Shakarchi 2003, § 5.4.

[FOOTNOTEBiałynicki-BirulaMycielski1975129–131-66] Białynicki-Birula & Mycielski 1975, pp. 129–131.

[FOOTNOTEChatfield2004113-67] Chatfield 2004, p. 113.

[FOOTNOTEFourier1822441-68] Fourier 1822, p. 441.

[FOOTNOTEPoincaré1895102-69] Poincaré 1895, p. 102.

[FOOTNOTEWhittakerWatson1927188-70] Whittaker & Watson 1927, p. 188.

[FOOTNOTEGrafakos2004-71] Grafakos 2004.

[FOOTNOTEGrafakosTeschl2013teorema_1.1-72] Grafakos & Teschl 2013, teorema 1.1.

[FOOTNOTEDuoandikoetxea2001teorema_8.3-73] Duoandikoetxea 2001, teorema 8.3.

[FOOTNOTEFefferman1971330–336-74] Fefferman 1971, pp. 330–336.

[FOOTNOTERudin1987182–183-75] Rudin 1987, pp. 182–183.

[FOOTNOTEChandrasekharan19897–8,_84-76] Chandrasekharan 1989, pp. 7–8, 84.

[FOOTNOTECandès2016prelegerea_3-77] Candès 2016, prelegerea 3.

[FOOTNOTEKatznelson2004-78] 1 2 3 4 Katznelson 2004.

[FOOTNOTEMallat200945-79] Mallat 2009, p. 45.

[FOOTNOTEStrichartz1994150-80] Strichartz 1994, p. 150.

[FOOTNOTEHunter2014apendicele_5.A_și_teorema_5.66-81] Hunter 2014, apendicele 5.A și teorema 5.66.

[FOOTNOTEHunter2014definiția_5.68-82] Hunter 2014, definiția 5.68.

[FOOTNOTEStrichartz1994-83] Strichartz 1994.

[FOOTNOTESalo2024teoremele_3.9.1_și_3.9.9-84] Salo 2024, teoremele 3.9.1 și 3.9.9.

[FOOTNOTEPinsky2002256-85] Pinsky 2002, p. 256.

[FOOTNOTERudin199115-86] Rudin 1991, p. 15.

[FOOTNOTEEdwards198253,_67,_72–73-87] Edwards 1982, pp. 53, 67, 72–73.

[FOOTNOTEEdwards198253-88] Edwards 1982, p. 53.

[FOOTNOTEKatznelson200440,_155,_164-89] Katznelson 2004, pp. 40, 155, 164.

[FOOTNOTEKatznelson2004173-90] Katznelson 2004, p. 173.

[FOOTNOTEBillingsley1995345-91] Billingsley 1995, p. 345.

[FOOTNOTERudin1991-92] 1 2 3 4 5 6 Rudin 1991.

[FOOTNOTEBell2014secțiunile_despre_funcții_pozitiv_definite_și_teorema_lui_Bochner-93] Bell 2014, secțiunile despre funcții pozitiv definite și teorema lui Bochner.

[FOOTNOTEBell2014secțiunile_despre_transformata_Fourier_și_măsura_Haar_pe_grupul_dual-94] Bell 2014, secțiunile despre transformata Fourier și măsura Haar pe grupul dual.

[FOOTNOTEHewittRoss1970capitolul_despre_reprezentări_și_grupuri_compacte-95] Hewitt & Ross 1970, capitolul despre reprezentări și grupuri compacte.

[FOOTNOTEKnapp2001-96] 1 2 3 Knapp 2001.

[FOOTNOTEShapiro2024teorema_8.36-97] Shapiro 2024, teorema 8.36.

[FOOTNOTEHewittRoss1970capitolul_VIII-98] 1 2 3 4 5 Hewitt & Ross 1970, capitolul VIII.

[FOOTNOTEHewittRoss1970-99] Hewitt & Ross 1970.

[FOOTNOTEHunter2014§_7.1-100] 1 2 3 Hunter 2014, § 7.1.

[FOOTNOTEPrecup2004§_5.3-101] 1 2 3 Precup 2004, § 5.3.

[FOOTNOTEHunter2014§§_5.A.2–5.A.3-102] Hunter 2014, §§ 5.A.2–5.A.3.

[FOOTNOTEAblowitzKaupNewellSegur1974249–315-103] Ablowitz et al. 1974, pp. 249–315.

[FOOTNOTELax1968467–490-104] Lax 1968, pp. 467–490.

[FOOTNOTEYousefiKschischang20144312–4328-105] Yousefi & Kschischang 2014, pp. 4312–4328.

[FOOTNOTEKeeler2010§§_5.1–5.3-106] Keeler 2010, §§ 5.1–5.3.

[FOOTNOTEGriffithsde_Haseth2007§§_2.1–2.2-107] Griffiths & de Haseth 2007, §§ 2.1–2.2.

[FOOTNOTEGriffithsde_Haseth20075,_12–13-108] Griffiths & de Haseth 2007, pp. 5, 12–13.

[FOOTNOTEGross2017§_4.7.10-109] Gross 2017, § 4.7.10.

[FOOTNOTEBrownChengHaackeThompson20147–8-110] Brown et al. 2014, pp. 7–8.

[FOOTNOTEBeu2020„Mecanica_ondulatorie”,_diapozitivele_9–16-111] Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivele 9–16.

[FOOTNOTEBeu2020„Mecanica_ondulatorie”,_diapozitivul_32-112] Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivul 32.

[FOOTNOTEBeu2020„Mecanica_ondulatorie”,_diapozitivele_13–16-113] Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivele 13–16.

[FOOTNOTEBeu2020„Formalismul_mecanicii_ondulatorii”,_diapozitivele_5–6-114] Beu 2020, „Formalismul mecanicii ondulatorii”, diapozitivele 5–6.

[FOOTNOTEBeu2020„Formalismul_mecanicii_ondulatorii”,_diapozitivele_32–34-115] Beu 2020, „Formalismul mecanicii ondulatorii”, diapozitivele 32–34.

[FOOTNOTEBeu2020„Mecanica_ondulatorie”,_diapozitivele_18–21_și_32-116] Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivele 18–21 și 32.

[FOOTNOTEBeu2020„Mecanica_ondulatorie”,_diapozitivele_25–28-117] Beu 2020, „Mecanica ondulatorie”, diapozitivele 25–28.

[FOOTNOTEBeu2020„Formalismul_mecanicii_ondulatorii”,_diapozitivele_25–26-118] Beu 2020, „Formalismul mecanicii ondulatorii”, diapozitivele 25–26.

[FOOTNOTETong§§_2.1–2.2-119] Tong, §§ 2.1–2.2.

[FOOTNOTEWolf1979312-120] Wolf 1979, p. 312.

[FOOTNOTEGrosu§_9.1,_definiția_9.1.5_și_teorema_9.1.14-121] Grosu, § 9.1, definiția 9.1.5 și teorema 9.1.14.

[FOOTNOTEShalizi2006§§_21.1–21.2-122] Shalizi 2006, §§ 21.1–21.2.

[FOOTNOTEShalizi2006§_21.1,_teorema_240-123] Shalizi 2006, § 21.1, teorema 240.

[FOOTNOTEShalizi2006§_21.1,_teoremele_240_și_244-124] Shalizi 2006, § 21.1, teoremele 240 și 244.

[FOOTNOTEShalizi2006§_21.1-125] Shalizi 2006, § 21.1.

[FOOTNOTEPressTeukolskyVetterlingFlannery1992§_13.9-126] 1 2 Press et al. 1992, § 13.9.

[FOOTNOTEGradshteynRyzhikGeronimusTseytlin2015-127] Gradshteyn et al. 2015.

[128] „fourier — Fourier transform of symbolic expression or function”. MATLAB Documentation. MathWorks. Accesat în 20 octombrie 2026.

[FOOTNOTEBaileySwarztrauber1994-129] Bailey & Swarztrauber 1994.

[FOOTNOTELado1971-130] Lado 1971.

[FOOTNOTESimonenOlkkonen1985-131] Simonen & Olkkonen 1985.

[FOOTNOTEErdélyi1954-132] Erdélyi 1954.

[FOOTNOTEKammler2000anexa_cu_tabele-133] Kammler 2000, anexa cu tabele.

[FOOTNOTENIST§_1.16(viii)-134] NIST, § 1.16(viii).

[FOOTNOTECampbellFoster1948-135] Campbell & Foster 1948.

[FOOTNOTEGelfandShilov1964-136] Gelfand & Shilov 1964.

[FOOTNOTESteinWeiss1971teorema_IV.3.3-137] Stein & Weiss 1971, teorema IV.3.3.

[FOOTNOTEEaston2010-138] Easton 2010.

[FOOTNOTESteinWeiss1971teorema_4.15-139] Stein & Weiss 1971, teorema 4.15.

[FOOTNOTEGelfandShilov1964363-140] 1 2 Gelfand & Shilov 1964, p. 363.

[FOOTNOTESteinWeiss19716-141] Stein & Weiss 1971, p. 6.

[notă 1]

[1]

[notă 2]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[notă 3]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]