Extindere normală

În algebra abstractă o extindere normală este o extindere de corp algebric L/K pentru care fiecare polinom ireductibil peste K care are o rădăcină în L, se împarte în factori liniari în L.^[1]^[2] Acestea sunt una dintre condițiile pentru ca extinderile algebrice să fie o extinderi Galois^⁠(d). Bourbaki numește o astfel de extindere o cvasiextindere Galois.

Definiție

Fie $L / K$ o extindere algebrică (adică L este o extindere algebrică pe K), astfel încât $L \subseteq \overline{K}$ (adică L este conținută într-o închidere algebrică a lui K). Apoi, următoarele condiții, care fiecare dintre ele poate fi considera drept o definiție a extinderii normale, sunt echivalente:^[3]

Orice încorporare a L în $\overline{K}$ induce un automorfism pe L.
L este corpul de descompunere^⁠(d) al familiei de polinoame din $K [X]$ .
Orice polinom ireductibil din $K [X]$ care are o rădăcină în L se descompune în L în factori liniari.

Alte proprietăți

Fie L o extindere pe corpul K. Atunci:

Dacă L este o extindere normală pe K și dacă E este o extindere intermediară (adică L ⊃ E ⊃ K), atunci L este o extindere normală pe E.^[4]
Dacă E și F sunt extinderii normale pe K cuprinse în L, atunci produsele tensoriale de corpuri^⁠(d) EF și E ∩ F sunt și ele extinderi normale pe K.^[4]

Condiții echivalente pentru normalitate

Fie $L / K$ algebrică. Corpul L este o extindere normală dacă și numai dacă sunt îndeplinite oricare dintre condițiile echivalente de mai jos.

Polinomul minimal peste K al fiecărui element din L se descompune pe L;
Există o mulțime $S \subseteq K [x]$ a polinoamelor care simultan se descompun pe L, astfel încât $K \subseteq F ⊊ L$ sunt corpuri, atunci S are un polinom care nu se descompune pe F;
Toate omomorfismele $L \to \bar{K}$ au aceeași imagine;
Grupul de automorfisme $Aut (L / K),$ al L care fixează elemente din K, acționează tranzitiv asupra setului de omomorfisme $L \to \bar{K} .$

Exemple și contraexemple

De exemplu, $ℚ (\sqrt{2})$ este o extindere normală pe $ℚ,$ deoarece este corpul de descompunere al $x^{2} - 2.$ Pe de altă arte, $ℚ (\sqrt[3]{2})$ nu este o extindere normală pe $ℚ$ deoarece polinomul ireductibil $x^{3} - 2$ are o rădăcină în el, $\sqrt[3]{2}$ , dar nu și pe toate (nu are rădăcinile cubice imaginare ale lui 2). Se reamintește că corpul $\overline{ℚ}$ al numerelor algebrice este închiderea algebrică a $ℚ,$ adică ea conține $ℚ (\sqrt[3]{2}) .$ Deoarece $ℚ (\sqrt[3]{2}) = {a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4} \in \overline{ℚ} | a, b, c \in ℚ}$ și, dacă $ω$ este o rădăcină cubică primitivă a unității, atunci aplicația ${\begin{matrix} σ : ℚ (\sqrt[3]{2}) ⟶ \overline{ℚ} \\ a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4} ⟼ a + b ω \sqrt[3]{2} + c ω^{2} \sqrt[3]{4} \end{matrix}$ este o încorporare a $ℚ (\sqrt[3]{2})$ în $\overline{ℚ}$ a cărei restricție la $ℚ$ este identitatea. Totuși, $σ$ nu este un automorfism al $ℚ (\sqrt[3]{2}) .$

Pentru orice număr prim $p,$ extinderea $ℚ (\sqrt[p]{2}, ζ_{p})$ are in mod normal gradul $p (p - 1) .$ Este corpul de descompunere al $x^{p} - 2.$ Aici $ζ_{p}$ semnifică a $p$ -a rădăcină primitivă a unității. Corpul $ℚ (\sqrt[3]{2}, ζ_{3})$ este închiderea normală a $ℚ (\sqrt[3]{2}) .$

Închidere normală

Dacă K este un corp iar L este o extindere algebrică pe K, atunci există o extindere algebrică M pe L astfel încât M este o extindere normală pe K. Mai mult, până la izomorfism, există o singură astfel de extindere care este minimală, adică singurul subcorp al M care conține L și a cărui extindere normală pe K este M însuși. Această extindere este numită închiderea normală a extinderii L pe K.

Dacă L este o extindere finită pe K, atunci extinderea sa normală este și ea o extindere finită.

Note

↑ Lang 2002, p. 237, Theorem 3.3, NOR 3.
↑ Jacobson 1989, p. 489, Section 8.7.
↑ Lang 2002, p. 237, Theorem 3.3.
1 2 Lang 2002, p. 238, Theorem 3.4.

Bibliografie

en Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (ed. Revised third), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
en Jacobson, Nathan (1989), Basic Algebra II (ed. 2nd), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787

[FOOTNOTELang2002237Theorem_3.3,_NOR_3-1] Lang 2002, p. 237, Theorem 3.3, NOR 3.

[FOOTNOTEJacobson1989489Section_8.7-2] Jacobson 1989, p. 489, Section 8.7.

[FOOTNOTELang2002237Theorem_3.3-3] Lang 2002, p. 237, Theorem 3.3.

[FOOTNOTELang2002238Theorem_3.4-4] 1 2 Lang 2002, p. 238, Theorem 3.4.

[1]

[2]

[3]

[4]