Involution (matematik)

Inom matematiken är en involution eller självinvers funktion, en bijektiv funktion som är sin egen invers:

f (f (x)) = x

,

eller alternativt

f^{- 1} = f

.

Exempel

Reella tal

Involutioner är, utöver den identiska avbildningen f(x) = x, avbildningarna

ℝ \to ℝ, x \mapsto - x

och

ℝ \to ℝ x \mapsto \frac{1}{x}

eftersom

- (- x) = x

för alla

x \in ℝ

och

\frac{1}{1 / x} = x

för alla

x \neq 0

.

Komplexa tal

Komplexkonjugering av ett tal är en involution:

z = a + b i

där

a, b \in ℝ

avbildas vid komplexkojugering på talet:

\bar{z} = z^{*} = a - b i .

Vid ytterligare en komplexkonjugering fås

\overline{\overline{z}} = z^{* *} = a + b i = z

Involutioner i gruppteori

Ett element a i en grupp G kallas en involution om a² = e, där e är gruppens neutrala element. Om alla a, som tillhör G är involutioner, så är gruppen abelsk. En grupp vars alla element är involutioner är Kleins fyrgrupp.

Om G är en abelsk grupp, så är avbildningen

g \mapsto g^{- 1}

en involution och en gruppautomorfi. Om G inte är abelsk, så är denna avbildning en involution, men inte en gruppautomorfi.

Generellt är varje inre automorfi på en grupp G en involution.

Linjär algebra

En matris A kallas involutiv om A² = I, där I är enhetsmatrisen. En involutiv matris kan i det två- och tredimensionella rummet konkret tolkas som en spegling av rummets punkter i en linje respektive i ett plan. Det finns ett enkelt samband mellan involutiva och idempotenta avbildningsmatriser. Om B är idempotent, så är A = 2B - I involutiv. B kan tolkas som en projektion. Exempel:

I det tvådimensionella rummet är

B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

en projektion på x-axeln och

A = 2 \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

en spegling av rummets punkter i samma axel.

Andra involutiva matriser är Paulis spinnmatriser.

Källor

I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham 1964.
B. L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg 1950.
Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison-Wesley, New York 1996.